一、图的定义和基本术语
1.图的定义
图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：
G=(V,E)
其中G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G顶点之间边的集合。
如果图的任意两个顶点之间的边都是没有方向的，则称该图为无向图，否则为有向图。
2.图的基本术语
简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边部重复出现。
邻接、依附：在无向图中，任意两个顶点有边相连接，则互为邻接点，同时称边依附于顶点。
无向完全图、有向完全图
在无向完全图中，任意两个顶点都有边；
含n个节点的无向完全图有n*（n-1）/2条边。
有向图中，任意两顶点都有方向互相相反的两条弧；
含有n*（n-1）条边。
稠密图、稀疏图：称边少的为稀疏图，反之多的就是稠密图。（相对而言）
权、网：权通常是指对边赋予有意义的数量值。
边上带权的图称为网。
路径、路径长度、回路
路径长度=结点到根的边的个数；
第一个顶点和最后一个顶点有相同的路径称为回路；
简单路径、简单回路
简单路径：在路径序列中，顶点部重复出现。
简单回路：除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点部重复出现。
子图：图G=（V,E）和G’=(V’,E’),如果V’属于V且E’属于E，则称G’是G的子图。
连通图、连通分量
连通图：在无向图中，若任意顶点之间有路径；
连通分量：非连通图的极大连通子图
强连通图、强连通分量
强连通图：在有向图中，对任意顶点i、j，若从顶点i到j均有路径；
强连通分量：非连通图的极大强连通子图。
生成树、生成森林：具有n个顶点的连通图G的生成树是包含G中全部顶点的一个极小连通子图。生成树可以任意指定一顶点为数的根。在生成树添加一条原图中的边，则必会产生回路，若减少一条边，则会成为非连通。所以一棵具有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边。
6.1.2 图的抽象数据类型定义
图是一种与具体应用密切相关的数据结构，它的基本操作往往随应用不同而有很大差别。下面给出一个图的抽象数据类型定义的例子，简单起见，基本操作仅包含图的遍历，针对具体应用，需要重新定义其基本操作。
ADT Graph
Data
顶点的有穷非空集合和边的集合
Operation
InitGraph
前置条件：图不存在
输入：无
功能：图的初始化
输出：无
后置条件：构造一个空的图
DestroyGraph
前置条件：图已存在
输入：无
功能：销毁图
输出：无
后置条件：释放图所占用的存储空间
DFSTraverse
前置条件：图已存在
输入：遍历的起始顶点v
功能：从顶点v出发深度优先遍历图
输出：图中顶点的一个线性排列
后置条件：图保持不变
BFSTraverse
前置条件：图已存在
输入：遍历的起始顶点v
功能：从顶点v出发广度优先遍历图
输出：图中顶点的一个线性排列
后置条件：图保持不变
endADT
6.1.3 图的遍历操作
图的遍历操作是图中最基本的操作。是指从图中某一顶点出发，对图中所有顶点访问一次且仅访问一次。
图遍历中关键问题：
（1）在图中没有一个确定的开始结点任一个都可以作为开始结点；
解决方案：从编号小的顶点开始 。
（2）从某个顶点出发可能到达不了所有其他顶点；
解决方案：多次调用从某顶点出发遍历图的算法。
（3）由于可能存在回路，某些顶点可能被重复访问；
解决方案：附设访问标志数组visited[n]
（4）在图中，一个顶点可以与其它多个顶点相邻接，当这样的顶点访问过后，如何选取下一个要访问的结点？解决方案：深度优先遍历和广度优先遍历。
1.深度优先遍历
类似于树的前序遍历
基本思想：
（1） 访问顶点v；
（2） 从v的未被访问的邻接点中选取一个顶点w，从w出发进行深度优先遍历；
（3） 重复以上两步，直到所有路径都被访问到。
2.广度优先遍历
类似于层序遍历
（1） 访问顶点v；
（2） 依次访问v的各个未被访问的邻接点v1，v2，……vk；
（3） 分别从v1，v2，……vk出发依次访问他们未被访问的邻接点，并使“先被访问顶点的邻接点”先于“后被访问结点的邻接点”被访问。直至图中所有与顶点v有路径相通的顶点都被访问到。
二、图的存储结构及实现
一个图包括两部分信息：信息以及描述顶点之间关系的信息。
6.2.1邻接矩阵（数组表示法）
基本思想：用一个一维数组存储图中顶点的信息，用一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中各顶点之间的邻接关系。
假设图G＝(V，E)有n个顶点，则邻接矩阵是一个n×n的方阵，定义为：
arc[i][j]＝{1 若(vi, vj)∈E（或<vi, vj>∈E）
0 其它
1.邻接矩阵构造函数算法
template<class dt>
MGraph<dt>::MGraph(dt a[],int n,int e)
{
vertexnum=n;arcnum=e;
for(i=0;i<vertexnum;i++)
vertex[i]=a[i];
for(i=0;i<vertexnum;i++)
for(j=0;j<vertexnum;j++)
arc[i][j]=0;
for(k=0;k<arcnum;k++)
{
cin>>i>>j;
arc[i][j]=1;
}
}
2.深度优先遍历算法
template<class dt>
void MGraph<dt>::DFSTraverse(int v)
{
cout<<vertex[v];visited=1;
for(j=0;j<vertexnum;j++)
if(arc[v][j]==1&&visited[j]==0) DFSTraverse(j);
}
3.广度优先遍历算法
template<class dt>
void MGraph<dt>::BFSTraverse(int v)
{
front=rear=-1;
cout<<vertex[v];visited[v]=1;Q[++rear]=v;
while(front!=rear)
{
v=Q[++front];
for(j=0;j<vertexnum;j++)
if(arc[v][j]==1&&visited[j]==0)
{
cout<<vertex[j];visited[j]=1;
Q[++rear]=j;
}
}
}
6.2.2 邻接表
1.邻接表：一种顺序存储与链接存储相结合的存储方法，类似于树的孩子链表表示法。
2.邻接表构造函数算法：
template<class dt>
ALGraph<dt>::ALGraph(dt a[],int n,int e)
{
vertexnum=n;arcnum=e;
for(i=0;i<vertexnum;i++)
{
adjlist[i].vertex=a[i];
adjlist[i].firstedge=NULL;
}
for(k=0;k<arcnum;k++)
{
cin>>i>>j;
s=new Arcnode;s->adjvex=j;
s->next=adjlist[i].firstedge;
adjlist[i].firstedge=s;
}
}
3.广度优先遍历算法
template<class dt>
void ALGraph<dt>::BFSTraverse(int v)
{
front=rear=-1;
cout<<adjlist[v].vertex;visited[v]=1;Q[++rear]=v;
while(front!=rear)
v=Q[++front];
p=adjlist[v].firstarc;
while(p!=NULL)
{
j=p->adjlist;
if(visited[j]==0)
{
cout<<adjlist[j].vertex;visited[j]=1;Q[++rear]=j;
}
p=p->next;
}
}
4.深度优先遍历算法
template<class dt>
void ALGraph<dt>::DFSTraverse(int v)
{
cout<<adjlist[v].vertex;visited=1;
p=adjlist[v].firstedge;
while(p!=NULL)
{
j=p->adjvex;
if(visited[j]==0) DFSTraverse(j);
p=p->next;
}
}
6.3 最小生成树
6.3.1 MST 性质
假设G=(V,E)是一个无向连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U,v∈V-U,则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。
6.3.2 Prim 算法
void Prim(MGraph G)
{
for(i=1;i<G.vertexnum;i++)
{
shortedge[i].lowcost=G.arc[0][i];
shortedge.adjvex=0;
}
shortedge[0].lowcost=0;
for(i=1;i<G.vertexnum;i++)
{
k=minedge(shortedge,G.vertexnum)
cout<<"("<<k<<shortedge[k].adjvex<<")"<<shortedge[k].lowcost;
shortedge[k].lowcost=0;
for(j=1;j<G.vertexnum;j++)
if G.arc[k][j]<shortedge[j].lowcost
{
shortedge[j].lowcost=G.arc[k][j];
shortedge[j].adjvex=k;
}
}
}
2.最小生成树算法 Kruskal
void Kruskal(EdgeGraph)
{
for(i=0;i<G.vertexnum;i++)
parent[i]=-1;
for(num=0,i=0;i<G.edgenum;i++)
{
vex1=Findroot(parent,G.edge[i].from);
vex2=Findroot(parent,G.edge[i].to);
if(vex1!=vex2)
{
cout<<"("<<G.edge[i].from<<G.edge[i].to<<")"<<endl;
parent[ver2]=ver1;
num++;
if(num==n-1) return;
}
}
}
int Findroot(int parent[],int v)
{
t=v;
if(parent[t]>-1) t=parent[t];
return t;
}
6.4最短路径
1.最短路径：两顶点之间经历的边数最少的路径（路径上的第一个顶点称为源点，最后一个顶点称为终点）。
2.Dijkstra 算法：
void Dijkstra(MGraph G,int v)
{
for(i=0;i<G.vertexnum;i++)
{
dist[i]=G.arc[v][i];
if(dist[i]!=∞) path[i]=G.vertex[v]+G.vertex[i];
else path[i]=" ";
}
s[0]=v;dist[v]=0;num=1;
while(num<G.vertexnum)
{
for(k=0,i=0;i<G.vertexnum;i++)
if((dist[i]!=0)&&(dist[i]<dist[k])) k=i;
cout<<dist[k]<<path[k];
s[num++]=k;
for(i=0;i<G.vertexum;i++)
if(dist[i]>dist[k]+G.arc[k][i])
{
dist[i]=dist[k]+G.arc[k][j];
path[i]=path[k]+G.vertex[i];
}
dist[k]=0;
}
}