详见 https://blog.csdn.net/xueshengke/article/details/53126289
Peng, Y., Ganesh, A., Wright, J., Xu, W., & Ma, Y. (2012). RASL: Robust alignment by sparse and low-rank decomposition for linearly correlated images. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 34(11), 2233-2246.
本文是这篇 PAMI 期刊论文的笔记，主要是对文中的理论方法进行展开详解。本人学术水平有限，文中如有错误之处，敬请指正。摘要：此文研究的问题是同时对齐（配准）一批线性相关的图像，而排除一些破坏（如遮挡）。此文的方法在图像变换域里寻找一个最优集，使得变换之后的图像矩阵可以被分解为一个错误部分的稀疏矩阵，和一个恢复的对齐的低秩的矩阵。此文为了解决这样一个具有挑战性的优化问题，使用了一系列的凸规划，最小化稀疏矩阵的 ℓ1ℓ1 范数，以及低秩矩阵的核（nuclear）范数的和，这可以使用有效的可扩展的凸优化技术解决。此文的特点就是在之前的研究基础上加入了图像变换对齐（配准），图像识别和分类的效果更好，所以称为 Robust 。
 |
 |
|---|---|
| 原始图像 DD | 对齐之后的图像 D∘τD∘τ |
 |
 |
| 低秩部分 AA | 误差部分 EE |
如图所示，本文的方法是将一批相似度很高的图像（不仅是人脸）作为输入，首先进行平面的对齐（配准），然后通过本文的 RASL 算法，将它们分解为低秩部分（相似度非常高）和稀疏误差部分（图像之间差异值最大的部分）。
此论文并不是一项开山之作，而是在之前的研究基础之上的改进版本。首先介绍一下这个研究课题组的 leader: Prof. Yi Ma, Senior Member, IEEE, University of Illinois at Urbana-Champaign. 研究成果都展示在 这里 了，论文和代码都公开了，可以供感兴趣的读者下载，自行研究。
Robust Parameterized Component Analysis 1 算法虽然也拟合一个低阶模型，有效地减少了损坏和遮挡的影响。但是这是一个非凸优化问题，没有理论保证鲁棒性和收敛率。最近提出的 Rank-Sparsity 2， RPCA 3 秩最小化已经证明了它确实有可能通过凸优化方法，有效地恢复低秩矩阵。
要想看懂此文之前，还需要一点预备知识，可以学习 Alternating Direction Method 4，Singular Value Thresholding 5，Dual Method 6 和 Augmented Lagrange Multiplier (ALM) Method 7。这些方法思想都和很简单。