区块链相关论文研读5：分布式隐私保护可审计的账本，zkLedger

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这篇论文在2018年发表在顶会NSDI上面，题目为《zkLedger: Privacy-Preserving Auditing for Distributed Ledgers》，作者为Neha Narula, MIT Media Lab; Willy Vasquez, University of Texas at Austin; Madars Virza, MIT Media Lab。

作者在NSDI上面做了演讲，通过下面这个链接可以查看演讲视频，演讲使用的PPT以及论文。在论文里面还可以找到论文实现源码。本人看这篇论文的时候，卡在了关键的部分，最后是结合了论文源码才看懂的。如果你对源码有问题的话，可以在下面留言。作者演讲所使用的PPT虽然简单易懂，但是太笼统了。

zkLedger: Privacy-Preserving Auditing for Distributed Ledgerswww.usenix.org

论文问题定义

银行的交易账本被审计的时候，银行希望不泄露：

交易的对象信息
每一条交易的具体金额
交易图谱（transaction graph）(即不能通过关联多条交易来挖掘出私密信息)

满足上面条件的情况下，能够做到基本的审计功能有：

某一个银行在某一时刻拥有多少资产？（最基本的功能）
某一个银行平均每一个交易的数额？
某一个银行所有交易金额的标准差是多少？

上面便是本文所要解决的问题了。在我们进一步了解之前，有必要知道一点点密码学的知识，这里简单整理和介绍一下。

背景知识

----------------------start---------虚线里面的内容可以跳过---------------------

群 Group，满足下面四个特性

1 封闭性（closure）：如果a和b被包含于G ，那么a+b 也一定是G的元素。
2 结合律(associativity)。
3 存在一个单位元（identity element）0，使得 a+0 = 0+a = a;[单位元：与任意元素运算不改变其值的元素]
4 每个数都存在一个相反数(inverse)。

阿贝尔群(abelian group)，在群的基础之上满足下面特性

5 交换律(commutativity): a+b = b+a.

我们可以在椭圆曲线定义一个群，其中一条椭圆曲线就是一组被 y^2=x^3+ax+b定义的且满足 4a^3+27b^2≠0 的点集。使用该曲线实现椭圆曲线加密算法Elliptic Curve Cryptography（ECC）。

上图表示如何在椭圆曲线上面定义加法和乘法。左边的图中，P和Q是曲线上面的一个点，R点是交点关于x轴对称的点，得到P+Q = R。中间的图，P点是一个切点，表示两个P相加。对于右图，先计算P+P = 2P，再计算2P+P = 3P，这样子就可以推导出椭圆曲线上面的乘法了。本论文中主要使用到了乘法。

-----------------------------------------end------------------------------------

使用ECC如何根据私钥x生成公钥呢？

私钥公钥生成：?k=?∗?

其中pk 是公钥，x是私钥，G是椭圆曲线上的一个点。特点是，知道x和G，容易计算出pk；知道pk和G,难计算出x。

同时，它有一个特别重要的特性，那就是它满足交换律和结合律

v1*G + v2*G = (v1 + v2)*G

使用上面的等式的特性，我们得出重要的Pedersen Commitment，形式为

(v1*G + r1*H) + (v2*G + r2*H) = v3*G + r3*H

其中v3 = v1 + v2; r3 = r1 + r2。G和H是椭圆曲线上面的两个不同的点，v和r是数值标量（scalar）。

例子 : (6*G + 222222222222*H) + (3 * G + 444444444444 * H) = 9 * G + 666666666666 * H。其中6和3可以表示为交易金额（私密信息）， 222222222222和444444444444是致盲因子。这样就能够让审计者不知道具体交易数据的情况下验证交易成立：只需要告诉审计者9和666666666666.。MimbleWinble协议使用到了Pedersen Commitment，来隐藏区块链中用户交易金额和交易图谱，达到隐私保护的作用。MimbleWinble协议有Grin和Beam两个实现，具体可以了解一下。下面两张图片是Bean一个交易数据的截图，可以发现一个交易的inputs和outputs都是字符串，实际的交易对象和交易金额都被隐藏了。

下面的一张图是比特币的一个交易数据，其中的交易对象的地址和交易金额是公开的。这些是题外话了。下面进入正题。

系统设计

总共有三个主体对象，分别是银行，账本和审计员。前两者有自己的本地数据库，存储自己的私密信息。三者通过分布式账本连在一起。

账本中的隐私交易数据被隐藏了，使用transaction commitment和proof来代替。如下图，所有的银行都对应着表格的一列，一行数据表示一个交易，一个交易的所有交易数据都是由该交易的发起者构造和生成的，交易的接收者和交易无关这不需要构造这一行数据，但是每一行单元格都需要被填写，即使该银行是该交易的无关者。下图中，bank1向bank2转账10^6欧元，bank1的值为-10^6，bank2的值为10^6。其它也有相应的数据，其交易金额为0。这样子就可以隐藏交易的参加者了。

如何审计一个银行当前的资产呢？先讲基本的方法，然后再将改进的方法。

第一种方法：

根据Pedersen Commitment，可以构造这样的等式，(v1*G + r1*H) + (v2*G + r2*H) +…+ (vn*G + rn*H)= v3*G + r3*H

即 [公式]

其中 [公式] ， ,m表示从开始到当前某个银行的所有交易数量，vi表示第i交易的数额，ri表示第i交易的致盲因子（或者说密钥）。

审计员知道该银行每条交易的commitment（从账本中），以及该银行当前资产数v3（银行告诉的）和致盲因子之和r3（银行告诉的）审计员验证等式： [公式] ,

如果等式成立，表示该银行的账单没问题。

但是，账单表格中的每一行数据是由该交易的发起者构建生成的，其它银行是不知情的，也就是每一个单元格中的致盲因子 [公式] 只有该行交易的发起者知道。这就有问题了，因为根据上面所述的方法，在审计员审计一个银行的时候，需要该银行提供给审计员。怎么解决这个问题呢？可不可以绕开致盲因子ri呢？为了解决这个问题，提出了第二种方法。

第二种方法

在每一个单元格中增加一个Token，计算方法为 , 其中pk是椭圆曲线上一个点，也是第i银行的公钥，ri表示致盲因子（椭圆曲线算法）。根据Pedersen Commitment，有

[公式]

所以

[公式] ,

发现可以从账本中计算到 [公式] ，可以从被审计的银行那里得到，也就是我们可以绕开来计算的值。

令 [公式] ，两边做椭圆曲线乘法运算，乘以x，得到

[公式] (1)

已知一个单元格的Token表示为 [公式] ，我们又知道通过私钥生成公钥的计算公式为：

[公式] (2)

其中 [公式] 表示被审计的银行的公钥。所以，某一银行所在列的所有Token的和为 (3)

根据（1）（3）式，发现 [公式] （4）

现在，在(2)(4)式子中，除了x，其它所有变量的值都可以计算的得到，最后，通过非交互式零知识证明，证明(2)(4)两式所使用的x是相等的。如果证明为真，审计通过，表示该银行当前拥有 [公式] 的资产。

小结一下:第二种方法中，被审计的银行只需要向审计员提供 [公式] 的值即可，不需要提供的值。

一致性证明

上面的证明是基于一个假设前提， [公式] 和使用的是相同的ri。所以，我们要让交易发起者在构造数据的时候，保证使得两个ri相等。但是我们不信任他，因此我们要求他构造一个一致性证明（proof of consistency），表示为 ,并把这个证明保存到每一个单元格中，以便让其它用户认证：如果通过，表示两个式子中的ri是相等的。

具体怎么构造这个零知识证明中的一致性证明，可以参考相关论文，或者查看论文实现源码。