蓝桥杯 算法提高 ADV-277 The Islands（记录转移的简单动态规划）

题目大意：

二维平面上有n个点，每个点的坐标是整数，其中有两个特殊点A和B，现在把所有的点按照x坐标从小到大排序，要求一条从起点S到终点T再回到S的最短路径，要求每个点都要经过一次，并且在从S到T的过程中x坐标只能单增，从T回到S过程中x坐标只能单减。A点和B点要分别在去和回来的路上。要计算出最短路径长度，并输出路径。

思路：

假设节点从 $1$ 号点到 $n$ 号点 $x$ 坐标依次增加。问题就等价于从 $1$ 号点到 $n$ 号点找到两条没有公共节点的路径，两个路径分别经过 $A$ 点和 $B$ 点，求两条路径长度的和最短。
设 $dp(i,j)$ 表示从 $1$ 号点第一条路径到 $i$ 号点，第二条路径到 $j$ 号点的两条路径的最短距离和。
那么对于 $dp(i,j)$ ，如果 $i>j$ ，那么下一个要决策的点就是 $i+1$ 号点，这个点可以有两种方式，第一种是放到第一条路径上，那么 $dp(i,j)$ 就转移到了 $dp(i+1,j)$ 上；第二种是放到第二条路径上，那么就转移到了 $dp(i,i+1)$ 状态上。如果 $i<j$ ，那么下一个要决策的点就是 $j+1$ 号点，这个点也可以有两种方式，第一种是放到第一条路径上，那么 $dp(i,j)$ 就转移到了 $dp(j+1,j)$ 上面；如果是放到第二条路径上，那么就是转移到 $dp(i,j+1)$ 状态上。

下面只要依次枚举每个状态，然后向后进行转移就可以了，这里注意对于 $A$ 节点和 $B$ 节点一定要设计转移，我们不妨假设 $A$ 点一定在第一条路径上， $B$ 点一定在第二条路径上，这样就可以在转移之前先进行一个判断，就可以保证最后的答案一定是 $A$ 和 $B$ 在不同的路径上。此外转移的时候用 $pre$ 数组记一下上一个状态就可以从最后的状态一点点回溯会初始状态，也就知道了两个最短的路径的形式。

代码：

/*
2019-12-26 17:34:11
from xcx
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欢迎交流学习
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 104;
struct point{
    int x, y;
    point(){}
    point(int xx, int yy){
        this->x = xx;
        this->y = yy;
    }
}a[maxn],pre[maxn][maxn];

int inline p2(int x){return x*x;}
inline double dis(point a, point b){
    return sqrt(p2(a.x- b.x) + p2(a.y- b.y));
}

int n, m1, m2;
double dp[maxn][maxn];
bool vis[maxn][maxn];
int main(){
    int cas = 1;
    while(scanf("%d%d%d",&n,&m1,&m2)!=EOF){
        if(n==0 && m1==0 && m2==0){
            break;
        }
        m1++, m2++;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d",&a[i].x, &a[i].y);
        }
        for(int i=0;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<=n;j++){
                vis[i][j] = false;
                dp[i][j] = 1e10;
            }
        }
        dp[1][1] = 0;
        for(int i=1;i<n;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                if(i!=1 && i == j)continue;
                if(i >= j){ // i+1的去哪
                    // dp[i][j] -> dp[i+1][j] = dp[i][j]+dis(i,i+1)  dp[i][i+1] = dp[i][j]+dis(j,i+1)
                    if(i+1!=m2 && (vis[i+1][j] == false || dp[i+1][j] > dp[i][j] + dis(a[i], a[i+1]))){
                        pre[i+1][j] = point(i, j);
                        vis[i+1][j] = true;
                        dp[i+1][j] = dp[i][j] + dis(a[i], a[i+1]);
                        // printf("%d %d -> %d %d (1)\n",i,j,i+1,j);
                    }
                    if(i+1!=m1 && (vis[i][i+1] == false || dp[i][i+1] > dp[i][j] + dis(a[j], a[i+1]))){
                        pre[i][i+1] = point(i, j);
                        vis[i][i+1] = true;
                        dp[i][i+1] = dp[i][j] + dis(a[j], a[i+1]);
                        // printf("%d %d -> %d %d (2)\n",i,j,i,i+1);
                    }
                }
                if(i <= j){ // j+1的去哪
                    // dp[i][j] -> dp[i][j+1] = dp[i][j]+dis(j,j+1)  dp[j+1][j] = dp[i][j]+dis(i,j+1)
                    if(j+1!=m1 && (vis[i][j+1] == false || dp[i][j+1] > dp[i][j] + dis(a[j], a[j+1]))){
                        pre[i][j+1] = point(i, j);
                        vis[i][j+1] = true;
                        dp[i][j+1] = dp[i][j] + dis(a[j], a[j+1]);
                        // printf("%d %d -> %d %d (3)\n",i,j,i,j+1);
                    }
                    if(j+1!=m2 && (vis[j+1][j] == false || dp[j+1][j] > dp[i][j] + dis(a[i], a[j+1]))){
                        pre[j+1][j] = point(i, j);
                        vis[j+1][j] = true;
                        dp[j+1][j] = dp[i][j] + dis(a[i], a[j+1]);
                        // printf("%d %d -> %d %d (4)\n",i,j,j+1,j);
                    }
                }
            }
        }
        /*for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                printf("dp[%d][%d] = %15.2f  ",i,j,dp[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                printf("pre[%d][%d] = (%d, %d)  ",i,j,pre[i][j].x, pre[i][j].y);
            }
            printf("\n");
        }*/
        double ans = 1e20;
        int posx = -1, posy = n;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(i == m2)continue;
            if(ans > dp[i][n]+ dis(a[i], a[n])){
                ans = dp[i][n]+ dis(a[i], a[n]);
                posx = i;
            }
        }
        vector<int> way1, way2;
        while(posx != 0 && posy != 0){
            //printf("%d %d ->",posx,posy);
            if(pre[posx][posy].x != posx){
                way1.push_back(posx);
                posx = pre[posx][posy].x;
            }
            else{
                way2.push_back(posy);
                posy = pre[posx][posy].y;
            }
        }
        vector<int> xcx;
        printf("Case %d: %.2f\n", cas++, ans);
        for(int i=way1.size()-1;i>=0;i--){
            xcx.push_back(way1[i]-1);
        }
        for(int i=0;i<way2.size();i++){
            xcx.push_back(way2[i]-1);
        }
        xcx.push_back(0);
        if(xcx[1] != 1){
            reverse(xcx.begin(), xcx.end());
        }
        for(int i=0;i<xcx.size();i++){
            if(i!=0){
                printf(" ");
            }
            printf("%d",xcx[i]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}