P1495 【模板】中国剩余定理(CRT)/曹冲养猪

题目描述

自从曹冲搞定了大象以后，曹操就开始捉摸让儿子干些事业，于是派他到中原养猪场养猪，可是曹冲满不高兴，于是在工作中马马虎虎，有一次曹操想知道母猪的数量，于是曹冲想狠狠耍曹操一把。举个例子，假如有16头母猪，如果建了3个猪圈，剩下1头猪就没有地方安家了。如果建造了5个猪圈，但是仍然有1头猪没有地方去，然后如果建造了7个猪圈，还有2头没有地方去。你作为曹总的私人秘书理所当然要将准确的猪数报给曹总，你该怎么办？

输入格式

第一行包含一个整数n (n <= 10) – 建立猪圈的次数，解下来n行，每行两个整数ai, bi( bi <= ai <= 1000), 表示建立了ai个猪圈，有bi头猪没有去处。你可以假定ai,aj互质.

输出格式

输出包含一个正整数，即为曹冲至少养母猪的数目。

对于线性同余方程组x≡a_i(mod m_i)(i=1...n)

若m_i两两互质，则x在mod M下必有一解，M=m₁m₂m₃...m_n

构造解的过程：

令M_i=M/m_i

显然(M_i,m_i)=1,所以M_i关于模m_i的逆元存在，设这个逆元为t_i

于是有M_it_i≡1(mod m_i),M_it_i≡1(mod m_j)(j≠i)

进一步于a_iM_it_i≡1(mod m_i),a_iM_it_i≡1(mod m_j)(j≠i)

因此解为x=a₁M₁t₁ + a₂M₂t₂+ ...+a_nM_nt_n

exgcd求逆元：

Exgcd的作用是解ax+by=gcd(a,b),

令a=M_i ,b=m_i,因为它们互质，所以方程转化为M_ix+m_iy=1

显然解得的x满足M_ix≡1(mod m_i)。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define ll long long
 3 using namespace std;
 4 ll n,a[1003],m[1003]; 
 5 void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
 6     if(b==0){
 7         x=1,y=0;
 8         return;
 9     }
10     //a=bq+r 
11     ll q=a/b,r=a%b;
12     exgcd(b,r,y,x);
13     y -= q*x;
14 }
15 ll inv(ll a,ll b){
16     ll x,y;
17     exgcd(a,b,x,y);
18     return x;
19 } 
20 ll CRT(){
21     ll M=0,ret=0;
22     for(int i=1;i<=n;++i)M*=m[i];
23     for(int i=1;i<=n;++i){
24         ll Mi=M/m[i],ti=inv(Mi,m[i]);
25         ret=(ret+a[i]*Mi*ti)%M;
26     }
27     return ret;
28 }
29 int main(){
30     cin>>n;
31     for(int i=1;i<=n;++i)
32       cin>>a[i]>>m[i];
33   cout<<CRT();
34 }

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