曹冲养猪（中国剩余定理）

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来源：牛客网

题目描述

自从曹冲搞定了大象以后，曹操就开始琢磨让儿子干些事业，于是派他到中原养猪场养猪，可是曹冲很不高兴，于是在工作中马马虎虎，有一次曹操想知道母猪的数量，于是曹冲想狠狠耍曹操一把。 举个例子，假如有16头母猪，如果建了3个猪圈，剩下1头猪就没有地方安家了；如果建造了5个猪圈，但是仍然有1头猪没有地方去；如果建造了7个猪圈，还有2头没有地方去。你作为曹总的私人秘书理所当然要将准确的猪数报给曹总，你该怎么办？

输入描述:

第一行包含一个整数n，表示建立猪圈的次数；接下来n行，每行两个整数 $a_i$, $b_i$​，表示建立了 $a_i$个猪圈，有 $b_i$​头猪没有去处。你可以假定 $a_i$, $a_j$​互质。

输出描述:

输出仅包含一个正整数，即为曹冲至少养猪的数目。

输入

3
3 1
5 1
7 2

输出

16

备注:

$对于全部数据，1≤n≤10,1≤bi≤ai≤1000$。

解法

$求解方程组$

$\left\{ \begin{aligned} x&≡b_1~(mod~a_1)\\ x&≡b_2~(mod~a_2)\\ &......\\ x&≡b_n~(mod~a_n) \end{aligned} \right.$
$其中a_i两两互质$

$令MOD=\prod_{i=1}^na_i$
$令M_i=MOD/a_i$
$令k_i ≡M_i^{−1}(mod ~a_i)$
$则模MOD意义下的唯⼀解为∑_{i=1}^{n}b_ik_iM_i.$

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 15;
typedef long long ll;

ll a[N], b[N];
ll M[N], k[N];

int exgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
{
	int d = a;
	if (b != 0){
		d = exgcd(b, a % b, y, x);
		y -= (a / b) * x;
	}
	else{
		x = 1;
		y = 0;
	}
	return d;
}

int main(void)
{
	int n;
	ll x, y, ans = 0, MOD = 1;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++){
		cin >> a[i] >> b[i];
		MOD *= a[i]; 
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++){
		M[i] = MOD / a[i];
		
		exgcd(M[i], a[i], x, y);
		k[i] = (a[i] + x % a[i]) % a[i];//保证x为正数 
		 
		ans = (ans + b[i] * k[i] * M[i]) % MOD;
	}
	cout << ans << endl;
	 
	return 0;
}