题解 P4777 【【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）】

求解同余方程组 (扩展中国剩余定理)

要解如下的同余方程组：

\(\begin{cases}x \equiv a_1\pmod {b_1}\\x \equiv a_2\pmod {b_2}\\......\\x \equiv a_n\pmod {b_n}\\\end{cases}\)

其中 , \(a_i,b_i\)为非负整数， \(b_1,b_2,...,b_n\) 不一定互质
求解:

假设已经求出了前 \(k-1\) 个方程的解 \(x_{k-1}\)
设 \(M=LCM_{i=1}^{k-1} bi\) , 即 \(M\) 为前 \(k-1\) 个模数 \(b\) 的最小公倍数

则 :
对于前 \(k-1\)个方程, 都满足\(x_{k-1}+tM\equiv a_i\pmod {b_i}\ \ (t\in Z)\)
即 : 前 \(k-1\) 个方程 , 通解为 \(x_{k-1}+tM\ \ (t\in Z)\)

欲求得第 \(k\) 个方程的解 , 并且将求得的解 , 也满足前 \(k-1\) 个方程

则 :
需要使第 \(k\) 个方程的解 , 为前 \(k-1\) 的方程的通解的同时，也满足第 \(k\) 个方程的条件。

设 : 第\(k\) 个方程的解 \(x_k = x_{k-1}+tM\ \ (t\in Z)\)

将此解代入第 \(k\) 个方程中 , 可得 :
\(x_{k-1}+tM\equiv a_k\pmod{b_k}\)
即 : \(tM\equiv a_k-x_{k-1}\pmod{b_k}\)
其中 : \(M,a_k,x_{k-1},b_k\) 都是已知的。

使用 \(exgcd\) 解出此同余方程 , 可以得到 \(t\) 的值。

将 \(t\) 的值代回 \(x_k = x_{k-1}+tM\ \ (t\in Z)\) ，就可得到\(x_k\)的值

进行 \(k\) 次上述操作后，便可得到方程组的解。
本题坑点：

数据范围：

如果只是开 \(long\ long\) 的话，取余时无论如何都会炸掉

为了避免变量爆破，要用一种叫做 快速乘取余 的奇\((ba)\)妙\((ka)\) 算法。
- 快速乘取余 ~~(又称龟速乘)~~
  
  其本质与快速幂取余类似，都是二进制的拆分应用。
  
  假设有 \(k\) 个 \(a\) 相乘
  快速乘将其分解成了 \(a\times 2a \times 4a\times ....\) 的形式。
  这样就可以边乘边取余，来防止变量爆破 , 数据溢出。
  
  但是却将乘法的时间复杂度，
  硬生生的拉到了 \(O(logn)\) 级别
```
ll mul(ll A,ll B,ll mod) //快速乘取余 模板
{
   ll ans=0;
   while(B>0)
     {
       if(B & 1) ans=(ans+A%mod)%mod;
       A=(A+A)%mod;
       B>>=1;
     }
   return ans;
 }
```

上代码:

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n;
ll a[100010],b[100010]; 
ll mul(ll A,ll B,ll mod) //快速乘取余 模板
{
    ll ans=0;
    while(B>0)
      {
        if(B & 1) ans=(ans+A%mod)%mod;
        A=(A+A)%mod;
        B>>=1;
      }
    return ans;
}
ll exgcd(ll A,ll B,ll &x,ll &y) //扩展欧几里得 模板
{
    if(!B)
      {
        x=1,y=0;
        return A;
      }
    ll d=exgcd(B,A%B,x,y);
    ll tmp=x;
    x=y , y=tmp-A/B*y;
    return d;
}
ll lcm(ll A,ll B) //求最小公倍数
{
    ll xxx,yyy;
    ll g=exgcd(A,B,xxx,yyy);
    return (A/g*B);
}
ll excrt() //重点:求解同余方程组
{
    ll x,y;
    ll M=b[1],ans=a[1]; //赋初值 
    //M为前k-1个数的最小公倍数，ans为前k-1个方程的通解
    for(int i=2;i<=n;i++)
      {
        ll A=M,B=b[i];
        ll C=(a[i]-ans%B+B)%B; //代表同余方程 ax≡c(mod b) 中a,b,c
            
        ll g=exgcd(A,B,x,y);
        //求得A,B的最大公约数，与同余方程ax≡gcd(a,b)(mod b)的解，
            
        if(C%g) return -1; //无解的情况
            
        x=mul(x,C/g,B); //求得x的值,x即t 
        ans+=x*M;  //获得前k个方程的通解
        M=lcm(M,B); //更改M的值
        ans=(ans%M+M)%M;
      }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      scanf("%lld%lld",&b[i],&a[i]);
    ll ans=excrt();
    printf("%lld",ans);
}

题解 P4777 【【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）】

求解同余方程组 (扩展中国剩余定理)

要解如下的同余方程组 ：

求解:

本题坑点：

数据范围：

上代码:

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