codeforces gym102020 I Illegal Towers

codeforces gym102020 I Illegal Towers

题意：

给你两个高度分别为A,B的塔，然后有n种积木，每种最多使用1e9个。问你使用这些积木使得这两座塔一样高。(题目保证有解)

题解：

一个明显的构造题。如果学过扩展欧几里得的话会发现对于两个互质的数a,b，一定会用ax+by=1的解。那么如果这数不是互质的，就一定用解使得他们ax+by=c，这里的c是gcd(a,b)的倍数。
回到这题，我们现在的任务相当于要求解ax+by=abs(A-B)。但问题是题目给的积木不一定满足互质，或者任意两的gcd并不是abs(A-B)的因子。那么要怎么做呢？
现在就来开始构造啦。首先，对于一个序列，由于题目保证有解，所有元素的gcd一定是(A-B)的因子。所以，第一步，我们就要把所有元素除以他们的gcd使得整个序列的gcd为1。在这之后，我需要构造两个互质的数出来，由于所有元素gcd为1，所以我是一定可以构造出来的。过程如下：
(现在假定我有一个数a,b)

1. 把a,b分别为这样的表达形式： $a=x_0*gcd(a,b)$ $b=y_0*gcd(a,b)$(这里的x_0,y_0毫无疑问是互质的)
2. 接下来我用exgcd使得 $a*x_1+b*x_2=gcd(a,b)$。因为 $x_0,y_0$是互质的，所以一定可以构造出1来。
3. 在第2步之后，我就把两个元素a和b合并成他们的gcd了。因为，所有元素的gcd为1，所以我一个一个元素的合并就可以构造出一个1来。

以上过程完毕之后，你可能回想只要1乘上(A-B)不就好了嘛。但不要忘了每个元素使用个数是1e9，假设A=1e9,B=0的话这样一乘上去直接就是爆了。回忆一下上面过程的计算过程：
$gcd(a_1,a_2)=a_1*x_1+a_2*y_1$ $gcd(gcd(a_1,a_2),a_3)=(a_1*x_1+a_2*y_1)*x_2+a_3*y_2$ $....$
我们会发现 $x$和 $y$会不断累乘在一起，这样就更容易爆了。但是，对于exgcd的解来说，它是有多个解的。而且，对于一个线性同余方程ax+by=c来说解 $x$的绝对值是可以约束在b的范围内的(由exgcd通解公式可知)。
如果这样的话我们在分析一下数据，a_i最大只有1e4,并且而每次我可以约束的范围是 $\frac{a_{i+1}}{gcd(a_i,a_{i+1})}$，并且我们使用exgcd求解的次数最多为log(1e4)次，也就是14次左右。而且，exgcd求解次数和求解范围是一个反比例函数，总是维持在1e4左右。因此，在构造出1之后，累乘最大就是1e4。然后再乘上abs(A-B)，其实可也可以认为是求exgcd的一步，我们也可以再乘上之后进行一次约束，约束的范围是1e4。因此，到最后还是不会超。这样就大概证明好了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
long long ans[maxn][2],a[maxn];
struct node
{
	int x,id;
	node(int n,int m):x(n),id(m){};
};
vector<node>x;
long long gcd(long long a,long long b)
{
	return b>0?gcd(b,a%b):a;
}
void exgcd(int a,int b,long long& d,long long &x,long long& y)
{
	if(!b) d=a,x=1,y=0;
	else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=(a/b)*x;
}
void change(int a,int b,long long& d,long long &x,long long& y)
{
	//cout<<x<<" "<<y<<" ";
    long long temp=x%b;
    if(temp>0) temp=abs(temp-b)<temp?temp-b:temp;
    else temp=abs(temp+b)<temp?temp-b:temp;
    long long k=(temp-x)/b;
    x+=k*b;
    y-=k*a;
    //cout<<x<<" "<<y<<endl;
}
int main()
{
	#ifdef TEST
		freopen("input.txt","r",stdin);
    #endif
	int T,n,m,i,j,k;
	int A,B,Gcd;
	scanf("%d%d",&A,&B);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		if(i==0) Gcd=a[i];
		else Gcd=gcd(Gcd,a[i]);
	}
	if(Gcd!=1)
	{
		if(gcd(Gcd,abs(A-B))!=Gcd)
		{
			cout<<"NO Solution"<<endl;
		}
		else
		{
			for(int i=0;i<n;i++) a[i]/=Gcd;
		}
	}
	int temp,pre=a[0];
	long long d,ax,by;
	x.push_back(node(1,0));
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
//		cout<<"----------"<<endl;
		temp=pre;
		pre=gcd(temp,a[i]);
		if(temp==pre) continue;
		temp/=pre;
		a[i]/=pre;
		exgcd(temp,a[i],d,ax,by);
		if(pre==1)
		{
			ax*=abs(A-B)/Gcd;
			by*=abs(A-B)/Gcd;
		}
		change(temp,a[i],d,ax,by);
		for(int j=0;j<x.size();j++)
		{
			x[j].x*=ax;
//			cout<<x[j].x<<endl;
		}
//		cout<<temp<<" "<<a[i]<<" "<<d<<" "<<ax<<" "<<by<<endl; 
		x.push_back(node(by,i));
	}
	//int Ans=abs(A-B)/Gcd;
	if(A>B) A=1,B=0;
	else B=1,A=0;
	for(int i=0;i<x.size();i++)
	{
		//cout<<x[i].id<<" "<<x[i].x<<endl;
		ans[x[i].id][x[i].x<0]=abs(x[i].x);
	}
	for(int i=0;i<n;i++) printf("%d\n",ans[i][A]);
	for(int i=0;i<n;i++) printf("%d\n",ans[i][B]);
}
/*
1 1000000000
6
1365 195 21 15 105 35
1000009995
*/