学习和计算时特别常用的三角公式

前言

无论搞硬件还是搞软件，数学基础，都很重要，没有一定的数学基础，不管学的语言再多、会的芯片型号再多，也只能算皮毛；做算法的需要数学理论作为支撑，做芯片设计的也需要数理知识作为支撑，总之，对于我们理工科的人，核心的东西还是数学基础，比如三角函数的计算和变换在信号处理中就会经常碰到，有句话常说“代数烦、几何难，三角公式记不完”，三角公式再多，其本质还是通过最基本的公式推导出来的，这里给出常用的三角公式，希望可以帮到大家。

角度与弧度换算

$360°=2\pi \;\text{rad}$

$180°=\pi \;\text{rad}$

$1°=\frac{\pi}{180}\;\text{rad}\approx 0.01745\;\text{rad}$

$1\;\text{rad}=\frac{180°}{\pi}\approx 57.30°$

定义式

$\text{正弦：}\sin \alpha =\frac{a}{c}$

$\text{余弦：}\cos \alpha =\frac{b}{c}$

$\text{正切：}\tan \alpha =\frac{a}{b}$

$\text{余切：}\cot \alpha =\frac{b}{a}$

$\text{正割：}\sec \alpha =\frac{c}{b}$

$\text{余割：}\csc \alpha =\frac{c}{a}$

$\text{倒数关系：———————}$

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha}$

$\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha}$

$\csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha}$

正弦定理

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}=\frac{1}{2R}$

余弦定理

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

诱导公式(七组)

• 奇变偶不变，符号看象限

$\underline{\begin{matrix} \sin \left( 2k\pi +\alpha \right) &=\sin \alpha& k\in \mathbb{Z}\\ \cos \left( 2k\pi +\alpha \right) &=\cos \alpha& k\in \mathbb{Z}\\ \tan \left( 2k\pi +\alpha \right) &=\tan \alpha& k\in \mathbb{Z}\\ \cot \left( 2k\pi +\alpha \right) &=\cot \alpha& k\in \mathbb{Z}\\ \sec \left( 2k\pi +\alpha \right) &=\sec \alpha& k\in \mathbb{Z}\\ \csc \left( 2k\pi +\alpha \right) &=\csc \alpha& k\in \mathbb{Z}\\ \end{matrix}}$

$\underline{\begin{aligned} \sin \left( \pi +\alpha \right) &=-\sin \alpha\\ \cos \left( \pi +\alpha \right) &=-\cos \alpha\\ \tan \left( \pi +\alpha \right) &=\tan \alpha\\ \cot \left( \pi +\alpha \right) &=\cot \alpha\\ \sec \left( \pi +\alpha \right) &=-\sec \alpha\\ \csc \left( \pi +\alpha \right) &=-\csc \alpha\\ \end{aligned}}$

$\underline{\begin{aligned} \sin \left( -\alpha \right) &=-\sin \alpha\\ \cos \left( -\alpha \right) &=\cos \alpha\\ \tan \left( -\alpha \right) &=-\tan \alpha\\ \cot \left( -\alpha \right) &=-\cot \alpha\\ \sec \left( -\alpha \right) &=\sec \alpha\\ \csc \left( -\alpha \right) &=-\csc \alpha\\ \end{aligned}}$

$\underline{\begin{aligned} \sin \left( \pi -\alpha \right) &=\sin \alpha\\ \cos \left( \pi -\alpha \right) &=-\cos \alpha\\ \tan \left( \pi -\alpha \right) &=-\tan \alpha\\ \cot \left( \pi -\alpha \right) &=-\cot \alpha\\ \sec \left( \pi -\alpha \right) &=-\sec \alpha\\ \csc \left( \pi -\alpha \right) &=\csc \alpha\\ \end{aligned}}$

$\underline{\begin{aligned} \sin \left( 2\pi -\alpha \right) &=-\sin \alpha\\ \cos \left( 2\pi -\alpha \right) &=\cos \alpha\\ \tan \left( 2\pi -\alpha \right) &=-\tan \alpha\\ \cot \left( 2\pi -\alpha \right) &=-\cot \alpha\\ \sec \left( 2\pi -\alpha \right) &=\sec \alpha\\ \csc \left( 2\pi -\alpha \right) &=-\csc \alpha\\ \end{aligned}}$

$\underline{\begin{aligned} \sin \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) &=\cos \alpha\\ \cos \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) &=-\sin \alpha\\ \tan \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) &=-\cot \alpha\\ \cot \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) &=-\tan \alpha\\ \sec \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) &=-\csc \alpha\\ \csc \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) &=\sec \alpha\\ \end{aligned}}$

$\underline{\begin{aligned} \sin \left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right) &=\cos \alpha\\ \cos \left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right) &=\sin \alpha\\ \tan \left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right) &=\cot \alpha\\ \cot \left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right) &=\tan \alpha\\ \csc \left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right) &=\sec \alpha\\ \sec \left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right) &=\csc \alpha\\ \end{aligned}}$

两角和公式(加法公式)[三组]

$\sin \left( \alpha +\beta \right) =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\sin \left( \alpha -\beta \right) =\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

$\cos \left( \alpha +\beta \right) =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

$\cos \left( \alpha -\beta \right) =\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

$\tan \left( \alpha +\beta \right) =\frac{\tan \alpha +\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}$

$\tan \left( \alpha -\beta \right) =\frac{\tan \alpha -\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}$

倍角公式

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha =\cos ^2\alpha -\sin ^2\alpha$

$=2\cos ^2\alpha -1$

$=1-2\sin ^2\alpha$

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha}{1-\tan ^2\alpha}$

三倍角公式

$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^3\alpha$

$\cos 3\alpha =4\cos ^3\alpha -3\cos \alpha$

$\tan 3\alpha =\tan \alpha \tan \left( \frac{\pi}{3}+\alpha \right) \tan \left( \frac{\pi}{3}-\alpha \right)$

半角公式

$\sin ^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2}$

$\cos ^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2}$

$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}$

和差化积

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta}{2}$

$\sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha -\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha +\beta}{2}$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta}{2}$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta}{2}\cdot \sin \frac{\alpha -\beta}{2}$

积化和差

$2\cos \alpha \cos \beta =\cos \left( \alpha -\beta \right) +\cos \left( \alpha +\beta \right)$

$2\sin \alpha \sin \beta =\cos \left( \alpha +\beta \right) -\cos \left( \alpha +\beta \right)$

$2\sin \alpha \cos \beta =\sin \left( \alpha -\beta \right) +\sin \left( \alpha +\beta \right)$

万能公式（毕达哥拉斯恒等式）

$\text{第一恒等式：}\sin ^2\alpha +\cos ^2\alpha =1$

$\text{第二恒等式：}\tan ^2\alpha +1=\sec ^2\alpha$

$\text{第三恒等式：}\cot ^2\alpha +1=\csc ^2\alpha$

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