2020牛客寒假算法基础集训营1 A.honoka和格点三角形

2020牛客寒假算法基础集训营1 A.honoka和格点三角形

题目描述

honoka最近在研究三角形计数问题。
她认为，满足以下三个条件的三角形是“好三角形”。
1.三角形的三个顶点均为格点，即横坐标和纵坐标均为整数。
2.三角形的面积为 。
3.三角形至少有一条边和 轴或 轴平行。
honoka想知道，在平面中选取一个大小为 的矩形格点阵，可以找到多少个不同的“好三角形”？由于答案可能过大，请对 取模。
输入描述:
两个正整数和 $（2≤n,m≤10^9）$

输出描述:

面积为1的格点三角形的数量，对 $10^9+7$ 取模的结果。

示例1

输入

2 3

输出

6

这题比赛还是推了一会儿时间，分情况：
1.n=m=2，答案为0（特判）
2.n=2或m=2，答案为 $2*max(m,n)*(max(m,n)-1)$
推理如下：
当有行数或列数为2时，不存在底为1，高为2的三角形，只有底为2，高为1的三角形，假令k=max(m,n)，则每行选出长为2的底有 $(k-2)$种情况，三角形有 $k*(k-2)$种，一共两行，故答案为 $2*k*(k-2)$
3.n>2且m>2，不难发现行与列的公式相同，答案相加即可，我们假定n行m列，只看行。首先找底为2，高为1的三角形，第一行和最后一行为 $m*(m-2)$，中间 $(n-2)$行每行有 $2*m*(m-2)$，所以求和为 $2*m*(m-2)*(n-1)$;再找底为1，高为2的三角形，前两行和最后两行为 $(m-1)*(m-2)$，中间 $(n-4)$行每行 $2*(m-1)*(m-2)$,相加得 $2*m*(m-1)*(n-2)$，将标红部分相加即可得到答案，C++要用快速乘，个人比较懒，挂个python代码供参考：

n,m=map(int ,input().split())
mod=1000000007
if n==2 and m==2:
    print(0)
elif n==2 or m==2:
    k=max(n,m)
    print(2*k*(k-2)%mod)
else:
    print(((m-2)*(4*m*n-6*m-2*n+4)+(n-2)*(4*m*n-6*n-2*m+4))%mod)