高斯分布基础知识及scipy实现

概率密度函数(pdf)

随机变量 $X$的高斯分布的概率密度函数(probability density function,pdf)：
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma}},-\infty<x<\infty$
其中 $\mu,\sigma(\sigma>0)$为常数，记为 $X\sim N(\mu,\sigma)$

累积分布函数(cdf)

高斯分布的累积分布函数(Cumulative distribution function,cdf)为：
$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(t-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}dt$
求的为高斯分布的曲线在 $X<x$下的面积，也就是概率 $P\{X<x\}$。

特别的，如果 $X\sim N(0,1)$服从标准高斯分布，则 $F(x)$记为 $\Phi(x)$:
$\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt$

引理：若 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$
于是，若 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$,其分布函数可以写为
$F(x)=P(X<x)=P(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{x-\mu}{\sigma})=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})$

期望

根据连续性概率密度函数的期望的定义：
$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$
若求解区间为 $(-\infty,\infty)$，则期望 $E(X)=\mu$