数论学习之中国剩余定理 china china！！！

针对线性方程组

中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

 

中国剩余定理说明：假设整数 m1, m2, ... , mn两两互质，则对任意的整数： a1, a2, ... , an，

  方程组(S)

有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设

 

是整数 m1, m2, ... , mn的乘积，并设

 

是除了 mi以外的 n- 1个整数的乘积。

设

 

这个就是逆元了

   

通解形式为

   

在模M的意义下，方程组(S) 只有一个解：

 

 

ll a[N],m[N];

void ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y,ll &d)
{
    if(!b)
    {
        d=a;x=1;y=0;
    }
    else
    {
        ex_gcd(b,a%b,y,x,d);
        y-=x*(a/b);
    }
}
ll inv(ll a,ll n)
{
    ll x,y,d;
    ex_gcd(a,n,x,y,d);
    return d==1?(x+n)%n:-1;//检查gcd(a,n)是否为1
}

ll china(int n,ll *a,ll *m)//X=a[i] (mod m[i]) 这个线性方程组一共有n个方程 0~n-1
{
    ll mul = 1, res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        mul *= m[i];
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        ll now = mul / m[i];//now表示是除了当前的这个m[i]外，其他m的公倍数
        res = (res + now * inv(now, m[i])*a[i]) % mul;
    }
    return (res + mul) % mul;//线性方程组在0～mul区间上有唯一解
}