Two Arrays（简单dp）

题目链接：http://codeforces.com/contest/1288/problem/C
题意：给定n和m，构造数组a和b，满足，ai非递减，bi非递增;ai<=bi，1<=i<=m，1<=ai,bi<=n。
求有多少数组对(a,b)满足题意，其中1<=n<=1000，1<=m<=10。

朴素解法，一个递增，一个递减，我们预处理dp[k][i]表示有k个数，且第k位数为i的非递减的序列数。则答案累加上所有的 $dp[m][i]*dp[m][j]$，其中1<=j<=i<=n。
时间复杂度为 $O(n^2)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn=1010;
const int mod=1e9+7;
 
int n,m;
ll dp[22][maxn];

void Add(ll &x,int y){
	x+=y;
	if(x>=mod) x-=mod;
}
int main(){
	while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
		//m<<=1;
		for(int i=1;i<=n;i++) dp[1][i]=1;
		for(int k=2;k<=m;k++){
			for(int i=1;i<=n;i++){
//				for(int j=1;j<=i;j++){
//					Add(dp[k][i],dp[k-1][j]);
//				}
				dp[k][i]=(dp[k-1][i]+dp[k][i-1])%mod;
			} 	
		}
		ll ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=i;j<=n;j++)
			Add(ans,dp[m][i]*dp[m][n-j+1]%mod);
		}
		
		printf("%I64d\n",ans);
	}
	return 0; 
} 

有趣的转化：https://blog.csdn.net/Nothing_but_Fight/article/details/103983854
（以下论述摘自以上博客）
1、序列a非递减，即 $a_m$是a中最大的数
2、序列b非递增，即 $b_m$是b中最小的数
3、由 $a_i≤b_i$可得 $a_m≤b_m$
有上述三点可以推出：
先顺序遍历序列a，再逆序遍历序列b，可以得到一个长度为2m的非递减序列c。（即将序列a和b的尾部相连）
至此，题目转换为求满足以下条件的序列c的个数：
1、长度为2m
2、ci的取值范围为[1,n]
3、序列c非递减
$dp$解决此问题：
$dp[i][j]$表示满足以下条件的序列个数：
1、长度为i
2、第一个数为j
3、序列非递减
该方法时间复杂度为 $O(nm)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn=1010;
const int mod=1e9+7;
 
int n,m;
ll dp[22][maxn];

void Add(ll &x,int y){
	x+=y;
	if(x>=mod) x-=mod;
}
int main(){
	while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
		m<<=1;
		for(int i=1;i<=n;i++) dp[1][i]=1;
		for(int k=2;k<=m;k++){
			for(int i=1;i<=n;i++){
				dp[k][i]=(dp[k-1][i]+dp[k][i-1])%mod;
			} 	
		}
		ll ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			Add(ans,dp[m][i]);
		}
		printf("%I64d\n",ans);
	}
	return 0; 
}