迪杰斯特拉算法之生活中的最短路径问题求解原理

最短路径算法在生活中有极其重要的意义与运用，如高铁、地铁的路线规划问题，最近学习了迪杰斯特拉算法，颇有感慨，遂成一篇笔记以记之。
以邻接矩阵为存储结构，如下图所示：

拓扑结构图如下：

求v0到v8的最短路径，其实思想比较简单，蕴含着贪心法的思想，它并不是一下子求出v0到v8的最短路径，而是先求出v0到v1的最短路径，再求出v2到v3的最短路径，过程就是基于已经求出的最短路径的基础上，求出更远拓扑点的最短路径，最终得出结果；

初始时d,p,final数组的值如下：
d: 0 1 5 65535 65535 65535 65535 65535 65535
p: 0 0 0 0 0 0 0 0 0
final: 1 0 0 0 0 0 0 0 0

代码如下：

#define MAXVEX 9
#define INFINITY 65535 //定义两个宏，主要是便于以后修改数据

typedef int Patharc[MAXVEX];//用于存储最短路径下标的数组
typedef int ShortPathTable[MAXVEX];//用于存储到各点的最短路径权值之和 

void shortpath_dj(Mgraph g,int v0,Patharc *p,ShortPathTable *d)
{
  int v,w,k,min;
  int final[MAXVEX];//final[w]表示已经求得顶点V0到Vw的最短路径，其实就是一个标记数组；
  
//初始化数据
for(v=0;v<.num;v++)
  {
    final[v]=0;  //全部顶点初始化为未找到最短路径；
    (*d)[v]=g.arc[v0][v];  //将和v0点有连线的顶点加上权值；这时初始化完成之后*d指向的数组内容即为邻接表的第一行内容，图中的无穷大全部用65535替代；
    (*p)[v]=0;    //初始化路径数组p为0；
  }
  (*d)[v0]=0;  //v0到v0的的路径为0；
  final[v0]=1; //v0到v0不需要求路径；

//开始主循环，每次求出v0到某一个顶点的最短路径；
for(v=1;v<g.num;v++)
  {
    min=INFINITY;
    for(w=0;w<g.num;w++)
      {
        if(!final[w]&&(*d)[w]<min)
          {
            k=w;
            min=(*d)[w];
          }
      }
      final[k]=1; //表示目前找到的最近顶点下标所对应的内容置1，即代表找到了v0到该点的最短路径；
 }

//修正当前的最短路径以及距离；
for(w=0;w<g.num;w++)
  {
    //如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短时，就将其覆盖；
    if(!final[w]&&(min+g.arc[k][w]<(*d)[w]))
      {
        (*d)[w]=min+g.arc[k][w];  //修改当前路径的长度,其实(*d)就是一个临时数组，用来不断去更好地取值，这也是贪心法的表现，也可以说这个数组喜新厌旧哈；
        (*p)[w]=k;   //*p你也可以理解为是用来存放前驱结点的数组，具有双重含义，就像现实生活中人们说话有时也有两层意思差不多。比如(*p)[2]内容为1，就表示v2顶点的前驱是v1！
      }
  }


}

每次循环之后，三个数组的值都会相应的变化，最终d,p,final三个辅助数组的值如下，大家可以顺着程序推演一下，很容易就可以推出，也将很好的理解dj算法原理：
d: 0 1 4 7 5 8 10 12 16
p: 0 0 1 4 2 4 3 6 7
final: 1 1 1 1 1 1 1 1 1

看似复杂的算法也就是通过一步步的组合而成，仔细分析就可得其精髓。