3D旋转

两种3D旋转

1. 轴/角（指数扭曲）

物体在三维空间中的旋转，可以被分为解为在直接坐标系下，分别先后围绕x,y,z坐标轴旋转得到。旋转的角度也就是我们常听到的角度roll，pitch，yew。如果已知这几个角度，就可以直接通过每一步的矩阵相乘得到整个旋转矩阵。旋转矩阵还可以理解为围绕空间中某一个向量，直接一次旋转某一个角度得到。 旋转向量的长度（模）表示绕轴逆时针旋转的角度（弧度）。旋转向量与旋转矩阵可以通过罗德里格斯（Rodrigues）变换进行转换，以$\hat n ( \hat n_x,\hat n_y,\hat n_z)$为轴做$\theta$角旋转的旋转矩阵写为：

$$R= \ I+(\sin \theta)[\hat n] + (1-\cos\theta)[\hat n]^2$$
其中， $I$为单位矩阵
$$[\hat n]^ = \left[ \begin{matrix} 0 & -\hat n_z & \hat n_y \\ \hat n_z & 0 & -\hat n_x \\ -\hat n_y & \hat n_x & 0 \end{matrix} \right] \tag{3}$$
https://blog.csdn.net/wangyang20170901/article/details/78800540
https://blog.csdn.net/u014328804/article/details/71499966

2. 单位四元数

四元数：指将二维平面的复数坐标额外增加2个虚数扩展到三维空间，即一般形式为：
$\ q = s + x i + yj+zk$
式中，s为实数，$xi， yj，zk$ 为虚数
单位四元数即为四元数除以它的范数$|q|= \sqrt { s^2+x^2+y^2+z^2}$
利用单位四元数表述旋转主要利用一个复数的特征，即对一个复数乘以i，这个复数在复数平面上旋转了90°。
则定义一个可以旋转3D空间的单位四元数
$q = \cos \theta +\sin \theta \vec v= [\cos \theta ,\sin \theta \vec v]$
其中$\vec v=(a i, bj, ck)$,表示三维任意向量。
则对任意的坐标$p=[0, \vec p] (p为纯四元数)$绕向量$\vec v$旋转$\theta$角度后的坐标$\vec P=qp$,即等于两个四元数的积。
由于经单位四元数变换后旋转了$2\theta$角，因此对旋转$\theta$角的旋转四元数的一半形式表示为：

$$q = [\cos \frac \theta 2 ,\sin \frac \theta 2 \vec v]$$
http://www.qiujiawei.com/understanding-quaternions/#1.5
https://www.3dgep.com/understanding-quaternions/
https://www.zhihu.com/question/23005815