数论整理之算数基本定理de变形

D - Sigma Function

这道题一看到就和上一道题很像，以为也是算数基本定理的考查，做了一下，发现能过样例……tle……
tle的思路：经过多次验算？？？就是发现幂的规律吧，只要存在一个pi,ei都为奇数的pi^ei,就能使sum为偶数。(素因子分解后，全为奇 ^ 偶，偶 ^ 偶，偶 ^ 奇，因子和就是奇数。)
tle的代码做个借鉴：

//输出格式没改
#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAX 1000005
#define mod 1000000007

using namespace std;

long long p[MAX],v[MAX],num_prime;

void GetPriem()//获得素数
{
    memset(p,0,sizeof(p));
    memset(v,0,sizeof(v));
    for(int i=2;i<MAX;i++)
    {
        if(!v[i])
        {
            p[++num_prime]=i;
            for(int j=i;j<MAX;j+=i)
                v[j]=1;
        }
    }
}

long long Ans(long long n)
{
    long long cnt,sum=0;
    for(int i=1;i<=num_prime && p[i]<=n;i++)
    {
        if(n%p[i]==0)
        {
            cnt=0;
            while(n%p[i]==0)
            {
                cnt++;
                n/=p[i];
            }
            if(cnt % 2 != 0 && p[i] % 2 != 0)
            {
                sum = 1;
            }
        }
    }
    if(n > 1)
        sum = 1;
    return sum;
}

int main()
{
    GetPriem();
    int T,cnt=1,i,j;
    long long n,m;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld",&n);
        long long m = 0;
        for(int k = 1;k <= n;k++)
        {
            m += Ans(k);
        }

        cout<<m<<endl;
    }
    return 0;
}

题解：
打表找规律。

素因子分解打表计算前n项和判断奇数偶数可以发现如下规律：

只要是2 ^ x,a ^ 2,2 * a ^ 2…只有这种数的因子和是奇数。所以，我们直接去重即可。
但是这些直接去重我们会发现减去的这些值有重复的，所以我们要判断下。

i (代表x||a): 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

2^x: 1 2 4 8 16 32 64 128 …

a^2: 0 1 4 9 16 25 36 49 64 …

2*a^2: 0 2 8 18 32 50 72 …

我们可以发现2^{x里面有的数，a}2和2*a^2里面都有。

加下划线的字一一对应，加粗的字一一对应。

①2 ^ x和a ^ 2, 当x为偶数时二者出现重复。
②2 ^ x和2*a ^ 2，当x为奇数时，二者出现重复。

所以不需要考虑2 ^ x的个数，直接用n减去a ^ 2和2*a^2的个数就是我们要的结果。

易知：a ^ 2的个数=sqrt(n)，2*a^2的个数=sqrt(n/2)。

那么为什么会是这样呢？给出推导过程：

n=p1 ^ e1p2 ^ e2…,则f(n)=(p1 ^ (e1+1)-1)/(p1-1))(p2^(e2+1)-1)/(p2-1))…
且(p1 ^ (e1+1)-1）/(p1-1))=p1 ^ 0+p1 ^ 1…+p1 ^ e1;
要使得f(n)为奇数，则(p1 ^ (e1+1)-1)/(p1-1)到(pn^(en+1)-1)/(pn-1)都要为奇数;

因为奇数 * 奇数=奇数，奇数 * 偶数=偶数;

1)当p=2时，2^(e+1)-1,一定为奇数;
2)当p!=2时，则p为奇数(因为p是素因子)，则当e为偶数时(p^(e+1)-1)/(p-1)为奇数。

经转化我们可以发现，2⁶⁼⁸2，2^11=2*322。也就是平方数和2倍的平方数。
则需要统计1到n中的平方数个数和2倍的平方数的个数，得到的为1到n中f(n)为奇数的个数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
 
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    for(int kase=1;kase<=t;kase++)
    {
        LL n;
        scanf("%lld",&n);
        LL num1=(LL)sqrt((double)n);
        LL num2=(LL)sqrt((double)n/2.0);
        printf("Case %d: %lld\n",kase,n-num1-num2);
    }
    return 0;
}