这场比赛由 tourist出题。%。比赛链接： agc041
题意
给一个长度为\(n\)的序列赋整数值，赋值的值域范围\([1,n]\)。要求赋值后的序列非递减，且对于\(1\le k\le {n-1}\)，从序列中任取\(k+1\)个数要比任取\(k\)个数的和大。问有多少种赋值方式？
题解
一共有\(n-1\)个限制条件，但是通过观察可以发现，只要满足\(k=n/2\)时的条件，其他条件自动满足。
要求序列满足非递减，因此考虑使用如下方式表示序列中的数字：
\(A_i = 1+x_1+x_2+...+x_i\)，\(x\ge0\)
根据题意转换\(x\)要满足以下条件：
- \(x_1+x_2+x_3+...+x_n \le n-1\)，值域限制
- \(x_1 \ge [x_2,x_3,...,x_n]·[0,1,2,...,2,1]\)，‘·’表示点乘，由满足\(k=n/2\)时条件带入推出。
此时若固定\(x_2,x_3,...,x_n\)的值，可以得出\(x_1\)有\(max(n-[x_2,x_3,...,x_n]·[1,2,3,...,3,2])\)
因此问题变成枚举每种点乘和有多少个。可以用\(DP\)解决。
\(dp[i]\)表示和为\(i\)的有多少种。
初始状态\(dp[0]=1\)
转移的时候有个技巧，由于增加的数字是某个数的倍数，设倍数是\(w\)，朴素的转移需要对\([0,w,w*1,w*2,w*3...]\)都做一遍转移，且\(dp\)要两维，但可以用如下方式简单转移：
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for(int j=w;j<n;++j)
dp[j]+=d[j-w];不能理解的，用具体数字写一个转移就可以体会其中的巧妙。