在家宅着也能抵抗肺炎！玩一玩SEIR传染病模型

这几天的武汉肺炎疫情沸沸扬扬，为了抗击新型肺炎，整天宅在家里。七八年前刚入门社交网络相关研究的时候，接触了一下经典的传染病模型，如SI，SIS，SIR等。目前，朋友圈到处在传这波疫情的后续发展的趋势预测，于是准备再把这些东西捡起来，看看到底是个啥情况。

SI模型

我们先从最简单的SI模型学起，首先我们把人群分为2种,一种是易感者(Susceptibles)，易感者是健康的人群，用 S 表示其人数，另外一种是感染者(The Infected)，即患者，人数用 I 来表示。我们假设一个区域内总人数是N，即 N=S+I ，

有 I 个感染者整天到处溜达，每天碰到 r个人，有 b 的概率会传染疾病，健康人比例为 S/N 将以上所有量乘在一起就是每天新增感染病例，我们看下其微分方程形式

有了这么一个公式我们就可以进行仿真了，上述式子实际上就是一个马尔科夫链

马尔可夫链（Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain），因俄国数学家安德烈·马尔可夫（俄语：Андрей Андреевич Марков）得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。

用在这里也一样，即当天的感染情况只和前一天的疾病感染人数有关。第N天的的人数我们可以表示为

来，上matab仿真，看看效果

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%   初始化
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clear;clc;

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%   参数设置
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N = 10000;                                                                  %人口总数
I = 1;                                                                      %传染者
S = N - I;                                                                  %易感者

r = 10;                                                                     %感染者接触易感者的人数
B = 0.01;                                                                   %传染概率


T = 1:200;
for idx = 1:length(T)-1
    S(idx+1) = S(idx) - r*B*I(idx)*S(idx)/N;
    I(idx+1) = I(idx) + r*B*I(idx)*S(idx)/N;
end

plot(T,S,T,I);grid on;
xlabel('天');ylabel('人数')
legend('易感者','传染者');title('SI模型')

我们设置的初始条件为人数 N=10000，初始感染者 I=1 ，每天闲逛到处溜达接触的人数是 r=10 ，接触后传染的概率为 b=0.01 。

也就是说，要是没人管让传染者整天在街上红哒哒白哒哒，那完蛋了，全部都得中招！

这个模型还是比较简单，一旦中招无法治愈，整个一生化危机。

SIS模型

我们加点料，增加点复杂度，有的人治好了但是还会反复感染，类似流感这样子。

这样子的模型就是SIS模型，SIS模型比SI模型多了一个感染者 I 恢复健康的概率 $\gamma$ 。

再次加入到迭代方程里面

那么，同马尔科夫链一样，修改下公式应该为

略微修改下SI的代码我们就得到了SIS模型

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%   初始化
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clear;clc;

%--------------------------------------------------------------------------
%   参数设置
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N = 10000;                                                                  %人口总数
I = 1;                                                                      %传染者
S = N - I;                                                                  %易感者

r = 10;                                                                     %感染者接触易感者的人数
B = 0.01;                                                                   %传染概率
y = 0.02;                                                                   %康复概率

T = 1:200;
for idx = 1:length(T)-1
    S(idx+1) = S(idx) - r*B*I(idx)*S(idx)/N + y*I(idx);
    I(idx+1) = I(idx) + r*B*I(idx)*S(idx)/N - y*I(idx);
end

plot(T,S,T,I);grid on;
xlabel('天');ylabel('人数')
legend('易感者','传染者');title('SIS模型')

初始条件为人数 N=10000 ，初始感染者 I=1 ，每天闲逛到处溜达接触的人数是 r=10 ，接触后传染的概率为 b=0.01 ，中招后康复的概率为 $\gamma =0.02$ 。

最终生病和健康的人数形成了一个稳定的动态平衡。

SIR模型

我们继续增加模型复杂度，人在康复以后产生了抗体就不会再得病。不同于SIS模型，我们在模型中引入康复者(The Recovered)，用 R 表示，并满足总人数 N=S+I+R 。这个时候就是SIR模型。一旦变为康复者，就不会再传染，即在概率传递过程中，一旦变为康复者，就没有概率再次转移为感染者或者易感者。我们假设感染者变为康复者的概率为我们来看下SIR模型的微分方程

仿真代码如下

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%   初始化
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clear;clc;

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%   参数设置
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N = 10000;                                                                  %人口总数
I = 1;                                                                      %传染者
S = N - I;                                                                  %易感者
R = 0;                                                                      %康复者

r = 10;                                                                     %感染者接触易感者的人数
B = 0.05;                                                                   %传染概率
y = 0.1;                                                                    %康复概率

T = 1:100;
for idx = 1:length(T)-1
    S(idx+1) = S(idx) - r*B*S(idx)*I(idx)/N;
    I(idx+1) = I(idx) + r*B*S(idx)*I(idx)/N - y*I(idx);
    R(idx+1) = R(idx) + y*I(idx);
end

plot(T,S,T,I,T,R);grid on;
xlabel('天');ylabel('人数')
legend('易感者','传染者','康复者')

这样子一看我们就发现和现实生活中比较接近了，按照这个参数仿真，在传播初期30天左右会迎来一个峰值，感染人数达到5000人，随着治疗康复的人越来越多，感染者下降，拥有抗体的人数不断增多，病情得到控制，感染者人数减少。

SEIR模型

实际情况更加复杂，易感染人群在一开始会经历潜伏期，一段时间之后才出现症状，因此我们在SIR模型的基础上引入潜伏者E (The Exposed)，潜伏者按照概率 $\alpha$ 转化为感染者，在SIR的基础上修改微分方程

同样，在SIR模型的基础上略微修改代码就得到了SEIR模型

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%   初始化
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clear;clc;

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%   参数设置
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N = 10000;                                                                  %人口总数
E = 0;                                                                      %潜伏者
I = 1;                                                                      %传染者
S = N - I;                                                                  %易感者
R = 0;                                                                      %康复者

r = 20;                                                                     %感染者接触易感者的人数
B = 0.03;                                                                   %传染概率
a = 0.1;                                                                    %潜伏者转化为感染者概率
y = 0.1;                                                                    %康复概率

T = 1:140;
for idx = 1:length(T)-1
    S(idx+1) = S(idx) - r*B*S(idx)*I(idx)/N;
    E(idx+1) = E(idx) + r*B*S(idx)*I(idx)/N-a*E(idx);
    I(idx+1) = I(idx) + a*E(idx) - y*I(idx);
    R(idx+1) = R(idx) + y*I(idx);
end

plot(T,S,T,E,T,I,T,R);grid on;
xlabel('天');ylabel('人数')
legend('易感者','潜伏者','传染者','康复者')

我们看到潜伏者数量也是先增加再减少。

修改后的SEIR模型

现在已经比较接近真实情况了，但是我们看到这次的病毒潜伏期具有传染性(前面的潜伏者只是正常的人通过接触患者变成潜伏者，而实际上，潜伏者和正常人接触后也可能让正常人变成潜伏者），因此我们要引入潜伏者的传染概率 $\beta _{2}$ 可以将健康的易感者转变为潜伏者。而潜伏者每天接触的健康易感者人数为 $\gamma _{2}$ 。

代码如下：

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%   初始化
%--------------------------------------------------------------------------
clear;clc;

%--------------------------------------------------------------------------
%   参数设置
%--------------------------------------------------------------------------
N = 10000;                                                                  %人口总数
E = 0;                                                                      %潜伏者
I = 1;                                                                      %传染者
S = N - I;                                                                  %易感者
R = 0;                                                                      %康复者

r = 20;                                                                     %感染者接触易感者的人数
B = 0.03;                                                                   %传染概率
a = 0.1;                                                                    %潜伏者转化为感染者概率
r2 = 20;                                                                    %潜伏者接触易感者的人数
B2 = 0.03;                                                                  %潜伏者传染正常人的概率
y = 0.1;                                                                    %康复概率

T = 1:140;
for idx = 1:length(T)-1
    S(idx+1) = S(idx) - r*B*S(idx)*I(idx)/N(1) - r2*B2*S(idx)*E(idx)/N;
    E(idx+1) = E(idx) + r*B*S(idx)*I(idx)/N(1)-a*E(idx) + r2*B2*S(idx)*E(idx)/N;
    I(idx+1) = I(idx) + a*E(idx) - y*I(idx);
    R(idx+1) = R(idx) + y*I(idx);
    
end

plot(T,S,T,E,T,I,T,R);grid on;
xlabel('天');ylabel('人数')
legend('易感者','潜伏者','传染者','康复者')

我们发现潜伏者一旦可以感染，人数爆发期大幅度提前，那么如果我们都在家宅怎么办？

我们假设在第10天的时候，命令下发，不要闲逛。

那么这时候将感染者接触健康易感人群人数 [公式] ，潜伏者接触健康易感人群人数是。我们在代码中加入if条件，修改接触人数：

%--------------------------------------------------------------------------
%   初始化
%--------------------------------------------------------------------------
clear;clc;

%--------------------------------------------------------------------------
%   参数设置
%--------------------------------------------------------------------------
N = 10000;                                                                  %人口总数
E = 0;                                                                      %潜伏者
I = 1;                                                                      %传染者
S = N - I;                                                                  %易感者
R = 0;                                                                      %康复者

r = 20;                                                                     %感染者接触易感者的人数
B = 0.03;                                                                   %传染概率
a = 0.1;                                                                    %潜伏者转化为感染者概率
r2 = 20;                                                                    %潜伏者接触易感者的人数
B2 = 0.03;                                                                  %潜伏者传染正常人的概率
y = 0.1;                                                                    %康复概率

T = 1:140;
for idx = 1:length(T)-1
    if idx>=10
        r=5;
        r2=5;
    end
    S(idx+1) = S(idx) - r*B*S(idx)*I(idx)/N(1) - r2*B2*S(idx)*E(idx)/N;
    E(idx+1) = E(idx) + r*B*S(idx)*I(idx)/N(1)-a*E(idx) + r2*B2*S(idx)*E(idx)/N;
    I(idx+1) = I(idx) + a*E(idx) - y*I(idx);
    R(idx+1) = R(idx) + y*I(idx);
    
end

plot(T,S,T,E,T,I,T,R);grid on;
hold on
plot([10 10],[0 10000])
xlabel('天');ylabel('人数')
legend('易感者','潜伏者','传染者','康复者','执行戒严措施')
title('戒严措施对SEIR模型的影响')

我们可以看到，疾病高发期的时间向后延长和疾病高峰人数大幅下降，这样子为我们抗击肺炎病毒争取了更多的应对时间，并且人数的减少大幅度降低了社会资源的消耗

因此得出结论：

我们在家宅着是可以为抗击疫情做贡献的，大家还是好好听话，不要出去随便穿门走动，要么被村长的广播嘲讽，多丢人哪。玩瘟疫公司去了~溜了溜了

土豆西瓜大芝麻

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