【数学建模】备战美赛之传染病模型

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传染病模型

放一个链接：[关于传染病][ https://www.zhihu.com/question/367466399 ]

传染病初期

特点：

没有考虑接触到的人中还有一部分病人，所以并不会全部被感染

1. 已感染人数（病人）
   $i(t), i(0)=i_0\tag1$

2. 每个病人每天有效接触（足以使人致病）人数为
   $\lambda\tag2$

3. 根据(1)(2)可以建立模型：
   $i(t+\Delta t)-i(t)=\lambda i(t)\Delta t\tag3\\ 其中\Delta t为时间段$

4. 等式两边同时除以\Delta t
   $\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}=\lambda i(t)\tag4$

5. 由导数定义有
   $i'(t)=\frac{di}{dt}=lim_{t\to \Delta t}\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}$

6. 同时，取\Delta t = 1天
   $\frac{di}{dt}=\lambda i\tag{5}$

7. 由(1)(5)两式可得最终的模型：
   $i(t)=i_0e^{\lambda t}\tag6$

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logistic模型

特点：

区分已感染者（病人）和未感染者（健康人），但没有考虑病人可以治愈。

1. 假设有
   $总人数:N\\ 病人比例:i(t)\\ 健康人比例:s(t)\\ 被传染概率为:k\\ 存在初始条件:s(t)+i(t)=1 \tag1$

2. 每个病人每天有效接触人数为
   $\lambda \tag2$

3. 建模得到
   $N[i(t+\Delta t)-i(t)]=k[\lambda s(t)]Ni(t)\Delta t\tag3$

4. 两边同时除\Delta t可以得到
   $\frac{di}{dt}=lim_{t\to \Delta t}\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}=k\lambda s(t)i(t)\tag4$

5. 由(1)(4)式可得
   $\begin{cases} \frac{di}{dt}=\lambda i(1-i) \\i(0)=i_0 \end{cases}$

6. 最终得到模型（logistic模型）
   $i(t)=\frac{1}{a+(\frac{1}{i_0}-1)e^{(-\lambda t)}}$

7. 传染病高潮到来的时刻t_m
   $t_m=\lambda^{-1}ln(\frac{1}{i_0}-1)$

SIS模型

特点：

病人治愈为健康人，但可再次被感染。

1. 假设有
   $总人数:N\\ 病人比例:i(t)\\ 健康人比例:s(t)\\ 被传染概率为:k\\ 存在初始条件:s(t)+i(t)=1\\ 病人每天治愈的比例为:\mu \tag1$
   特殊定义，接触数\sigma：一个感染期内每个病人的有效接触人数。
   $接触数:\sigma = \frac{\lambda}{\mu}$

2. 建模得到
   $N[i(t+\Delta t)-i(t)]=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Delta t \tag2$

3. 化简
   $N[i(t+\Delta t)-i(t)]=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Delta t$
   $\\i(t+\Delta t)-i(t) =\lambda s(t)i(t)\Delta t-\mu i(t)\Delta t$
   $\\\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t} = \lambda s(t)i(t)-\mu i(t)$
   $\\\frac{di}{dt}= \lambda s(t)i(t)-\mu i(t)$

4. 最终得到
   $\begin{cases} \frac{di}{dt}= \lambda i(t)(1-i(t))-\mu i(t) \\ i(0)=i_0 \end{cases}$

SIR模型

特点：

传染病有免疫性，病人治愈后即移出感染系统，称为移出者

1. 假设
   $总人数:N, 病人比例:i(t), 健康人比例:s(t), 移出者比例:r(t), \\病人日接触率:\lambda,日治愈率:\mu,接触数:\sigma=\frac{\lambda}{\mu} \tag1$

2. 存在初始条件
   $s(t)+r(t)+i(t)=1 \\i_0+s_0=1 \tag2$

3. 建立模型
   $\begin{cases} N[i(t+\Delta t)-i(t)]=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Delta t \\N[s(t+\Delta t)-s(t)]=-\lambda Ns(t)i(t)\Delta t \end{cases} \tag3$

   第一个方程：病人在\Delta t时间段的增加数=\Delta t时间段被感染人数-\Delta t时间段治愈的病人数（移出者数）。
   第二个方程：健康人在\Delta t时间段的增加数= - \Delta t时间段被感染人数（新治好的变成了移出者）。

4. 最终得到得到
   $\begin{cases} \frac{di}{dt}=\lambda si-\mu i \\\frac{ds}{dt}=-\lambda si \\i(0)=i_0,s(0)=s_0 \end{cases}$

还可以添加隔离等变量。

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