最近新型冠状病毒疫情越来越严重了，待在家中没法出去，学习一下经典传染病模型。
这里总结了五个模型，分别是SI模型，SIS模型，SIR模型，SIRS模型，SEIR模型。
这几种模型的特点先介绍一下。
首先定义SEIR：
S为易感者 (Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；
E为暴露者 (Exposed)，指接触过感染者，但暂无能力传染给其他人的人，对潜伏期长的传染病适用；
I为感病者 (Infective)，指染上传染病的人，可以传播给 S 类成员，将其变为 E 类或 I 类成员；
R为康复者 (Recovered)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。如免疫期有限，R 类成员可以重新变为 S 类。
一、SI模型
该模型只考虑易感者和感病者，感病者不断去感染易感者。
随着时间推移，该模型感染者越来越多直到所有人都感染。
其微分方程为：
其中beta为感染率。
二、SIS模型
该模型依然只考虑易感者和感病者，感病者不断去感染易感者，这里感病者会得到治疗恢复成易感者，不过恢复后依然可能得病。
随着时间推移，该模型感染者和易感者会达到动态平衡。
其微分方程为：
其中beta为感染率，gamma为治愈率。
三、SIR模型
该模型考虑易感者、感病者与康复者，其中感病者不断感染易感者，而感病者又不断接受治疗成为康复者，康复者因为得到抗体不会再成为易感者。
随着时间推移，该模型康复者越来越多，最终所有人都成为康复者。
其微分方程为：
其中beta为感染率，gamma为治愈率。
四、SIRS模型
该模型考虑易感者、感病者与康复者，其中感病者不断感染易感者，而感病者不断接受治疗成为康复者，康复者获得抗体能够抵抗一段时间，不过最终还是会成为易感者。
该模型和SIS模型很像，区别就是康复者能够抵抗一段时间，也就是有一定的复感率，而SIS模型的复感率为1。
随着时间推移，该模型同样会达到一个动态平衡。
其微分方程为：
其中beta为感染率，gamma为治愈率，alpha为复感率。
五、SEIR模型
该模型四种参与者全部考虑，其中感病者不断感染易感者，易感者得到病毒会成为潜伏者，潜伏者依然能够使易感者感染，潜伏者有一定概率自己痊愈，感染者接受治疗也能够痊愈，痊愈后不再能够感染该病。
随着时间推移，该模型最终也是所有人都会成为康复者。
其微分方程为：
其中beta为感染率，gamma1为潜伏期康复率，gamma2为患者康复率，alpha为潜伏期转阳率。
各模型matlab代码如下，其中ode45为4阶龙格库塔法解微分方程，具体实现见上一篇文章：
main.m：
clear all; close all; clc; %%SI模型 [t,h] = ode45(@SI,[0 120],0.01); %0.01为初始感染人口占比 plot(t,h,'r'); hold on; plot(t,1-h,'g'); legend('感染人口占比I','健康人口占比S'); title('SI模型') %%SIS模型 figure; [t,h] = ode45(@SIS,[0 120],0.01); %0.01为初始感染人口占比 plot(t,h,'r'); hold on; plot(t,1-h,'g'); legend('感染人口占比I','健康人口占比S'); title('SIS模型') %%SIR模型 figure; [t,h] = ode45(@SIR,[0 300],[0.01 0.99]); %[初始感染人口占比 初始健康人口占比] plot(t,h(:,1),'r',t,h(:,2),'b'); hold on; plot(t,1-h(:,2),'g'); legend('感染人口占比I','健康人口占比S','治愈人口占比R'); title('SIR模型') %%SIRS模型 figure; [t,h] = ode45(@SIRS,[0 300],[0.01 0.99 0]); %[初始感染人口占比 初始健康人口占比 初始治愈人口占比] plot(t,h(:,1),'r',t,h(:,2),'b'); hold on; plot(t,h(:,3),'g'); legend('感染人口占比I','健康人口占比S','治愈人口占比R'); title('SIRS模型') %%SEIR模型 figure; [t,h] = ode45(@SEIR,[0 300],[0.01 0.98 0.01 0]); %[初始感染人口占比 初始健康人口占比 初始潜伏人口占比 初始治愈人口占比] plot(t,h(:,1),'r'); hold on; plot(t,h(:,2),'b'); plot(t,h(:,3),'m'); plot(t,h(:,4),'g'); legend('感染人口占比I','健康人口占比S','潜伏人口占比E','治愈人口占比R'); title('SEIR模型')
SI.m：
function dy=SI(t,x) beta = 0.1; %感染率 dy=beta*x*(1-x);
SIS.m：
function dy=SIS(t,x) beta = 0.1; %感染率 gamma= 0.02; %治愈率 dy=beta*x*(1-x)-gamma*x;
SIR.m：
function dy=SIR(t,x) beta = 0.1; %感染率 gamma = 0.02; %治愈率 dy=[beta*x(1)*x(2)-gamma*x(1); -beta*x(1)*x(2)];
SIRS.m：
function dy=SIRS(t,x) beta = 0.1; %感染率 gamma = 0.02; %治愈率 alpha = 0.01; %治愈复感率 dy=[beta*x(1)*x(2)-gamma*x(1); -beta*x(1)*x(2)+alpha*x(3) gamma*x(1) - alpha*x(3)];
SEIR.m：
function dy=SEIR(t,x) beta = 0.1; %感染率 gamma1 = 0.05; %潜伏期治愈率 gamma2 = 0.02; %患者治愈率 alpha = 0.5; %潜伏期转阳率 dy=[alpha*x(3) - gamma2*x(1); -beta*x(1)*x(2); beta*x(1)*x(2) - (alpha+gamma1)*x(3); gamma1*x(3)+gamma2*x(1)];
模型结果如下：
SI模型：
SIS模型：
SIR模型：
SIRS模型：
SEIR模型：
参考：
https://baike.baidu.com/item/%E4%BC%A0%E6%9F%93%E7%97%85%E6%A8%A1%E5%9E%8B/5130035