[树状数组]求区间最值

问题

树状数组已经可以用于区间修改，区间查询，那能不能把求和的理论运用到最值上面呢？

分析

参照了另一篇讲解
这里重点是简单记录思路，整理代码

这里树状数组的C[]和A[]与求和树状数组的相同，C[y]代表A[ y-lowbit(y)+1 , y ]内的最大值。
那么用原本的单点维护，我们能得到单次logn，总数nlogn的预处理C[y]

通过观察lowbit的变化规律，发现有一种类似dp的做法。
用 $C[1,i-1]$来更新C[i]
为C[i]贡献的只有当存在一个 $x$使 $i=x+lowbit(x)$
这种数是有限的，简单模拟后发现有x-2⁰，x-2¹…x-2^k这么多，其中2^k < lowbit(x)且2^(k+1)>=lowbit(x)，也就是动的二进制位数小于lowbit(x)

这就有了一种更快的预处理思路，复杂度为O(log²n)
体现在下面的update函数

---

查询方面，前缀和是不能用的。由于C[y]代表A[ y-lowbit(y)+1 , y ]将其进行改进找出了一种递推的思路：分治逐步缩小范围。

在查询[x,y]间时：
当y-lowbit(y) > x，区间更新为比较 $[x,y-lowbit(y)]$与 $[ y-lowbit(y)+1 , y ]$区间的最大值，前者是递归，后者是 $C[y]$

当y-lowbit(y) <=x，只缩小一，变为比较 $A[y]$与 $[x,y-1]$区间的最大值，这里前者是直接读值，后者是递归

递归可以转化成while，代码见下面的query函数

代码

#include "cstdlib"
#include <iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x&(-x))
class Binary_Indexed_Trees_max//区间最大值
{
private:
	const static int MAXN = 1010;
	int A[MAXN];//原数组
	int C[MAXN];
	int N;
public:
	void init(int* a, int n)//数组，个数
	{
		N = n;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			A[i] = *(a+i-1);
		}
	}
	void update(int x)
	{
		int lx, i;
		while (x <= N)
		{
			C[x] = A[x];
			lx = lowbit(x);
			for (i = 1; i < lx; i <<= 1)
				C[x] = max(C[x], C[x - i]);
			x += lowbit(x);
		}
	}

	int query(int x, int y)
	{
		int ans = 0;
		while (y >= x)
		{
			ans = max(A[y], ans);
			y--;
			for (; y - lowbit(y) >= x; y -= lowbit(y))
				ans = max(C[y], ans);
		}
		//C[y]是[ y-lowbit(y)+1 , y ]内的最大值
		//y-lowbit(y) > x ，则query(x,y) = max( C[y] , query(x, y-lowbit(y)) );
		//y-lowbit(y) <=x，则query(x,y) = max( A[y] , query(x, y-1);
		return ans;
	}
}BIT;
int arr[1000] = {8,2,5,4,3,7,7,9,1,10};
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	BIT.init(arr, 10);
	for (int i = 1; i <= 10; i++)
	{
		BIT.update(i);
	}
	for (int i = 1; i <= 10; i++)
	{
		cout << BIT.query(1, i) << endl;//求出1倒i间arr的最大值
	}
	return 0;
}