Matrix矩阵的图像处理

                             Matrix矩阵的图像处理

矩阵的规则：

矩阵A与矩阵B能进行乘法操作的条件：

1. 当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，A与B可以相乘。
2. 矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。
3. 乘积C的第 i 行第 j 列的元素C ij等于矩阵A的第 i 行的元素与矩阵B的第 j 列对应元素乘积之和。

　　例如：

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矩阵计算与各种图像变换联系

一、 平移变换

假定有一个点的坐标是 ，将其移动到 ，再假定在x轴和y轴方向移动的大小分别为：

如下图所示：

不难知道：

如果用矩阵来表示的话，就可以写成：

 

二、 旋转变换

2.1    围绕坐标原点旋转：

假定有一个点 ，相对坐标原点顺时针旋转后的情形，同时假定P点离坐标原点的距离为r，如下图：

那么，

如果用矩阵，就可以表示为：

2.2    围绕某个点旋转

如果是围绕某个点顺时针旋转，那么可以用矩阵表示为：

可以化为：

很显然，

1.   

  是将坐标原点移动到点后， 的新坐标。

2.     

是将上一步变换后的，围绕新的坐标原点顺时针旋转 。

3.     

经过上一步旋转变换后，再将坐标原点移回到原来的坐标原点。

所以，围绕某一点进行旋转变换，可以分成3个步骤，即首先将坐标原点移至该点，然后围绕新的坐标原点进行旋转变换，再然后将坐标原点移回到原先的坐标原点。

三、 缩放变换

理论上而言，一个点是不存在什么缩放变换的，但考虑到所有图像都是由点组成，因此，如果图像在x轴和y轴方向分别放大k1和k2倍的话，那么图像中的所有点的x坐标和y坐标均会分别放大k1和k2倍，即

用矩阵表示就是：

如果想让它基于图片中心缩放，应该该怎么办？我们上一篇文章也说过了，要用到组合变换，

1）先将图片由中心平移到原点，这是应用变换 T

2）对图应用缩放变换 S 

3）再将图片平移回到中心，应用变换 -T

下面给出它们的组合变换的公式：

四、 错切变换

错切变换(skew)在数学上又称为Shear mapping(可译为“剪切变换”)或者Transvection(缩并)，它是一种比较特殊的线性变换。错切变换的效果就是让所有点的x坐标(或者y坐标)保持不变，而对应的y坐标(或者x坐标)则按比例发生平移，且平移的大小和该点到x轴(或y轴)的垂直距离成正比。错切变换，属于等面积变换，即一个形状在错切变换的前后，其面积是相等的。

比如下图，各点的y坐标保持不变，但其x坐标则按比例发生了平移。这种情况将水平错切。

下图各点的x坐标保持不变，但其y坐标则按比例发生了平移。这种情况叫垂直错切。

假定一个点经过错切变换后得到，对于水平错切而言，应该有如下关系：

用矩阵表示就是：

扩展到3 x 3的矩阵就是下面这样的形式：

同理，对于垂直错切，可以有：

在数学上严格的错切变换就是上面这样的。在Android中除了有上面说到的情况外，还可以同时进行水平、垂直错切，那么形式上就是：

五、 对称变换

除了上面讲到的4中基本变换外，事实上，我们还可以利用Matrix，进行对称变换。所谓对称变换，就是经过变化后的图像和原图像是关于某个对称轴是对称的。比如，某点 经过对称变换后得到，

如果对称轴是x轴，难么，

用矩阵表示就是：

如果对称轴是y轴，那么，

用矩阵表示就是：

如果对称轴是y = x，如图：

那么，

很容易可以解得：

用矩阵表示就是：

同样的道理，如果对称轴是y = -x，那么用矩阵表示就是：

特殊地，如果对称轴是y = kx，如下图：

那么，

很容易可解得：

用矩阵表示就是：

当k = 0时，即y = 0，也就是对称轴为x轴的情况；当k趋于无穷大时，即x = 0，也就是对称轴为y轴的情况；当k =1时，即y = x，也就是对称轴为y = x的情况；当k = -1时，即y = -x，也就是对称轴为y = -x的情况。不难验证，这和我们前面说到的4中具体情况是相吻合的。

如果对称轴是y = kx + b这样的情况，只需要在上面的基础上增加两次平移变换即可，即先将坐标原点移动到(0, b)，然后做上面的关于y = kx的对称变换，再然后将坐标原点移回到原来的坐标原点即可。用矩阵表示大致是这样的：

需要特别注意：在实际编程中，我们知道屏幕的y坐标的正向和数学中y坐标的正向刚好是相反的，所以在数学上y = x和屏幕上的y = -x才是真正的同一个东西，反之亦然。也就是说，如果要使图片在屏幕上看起来像按照数学意义上y = x对称，那么需使用这种转换：

要使图片在屏幕上看起来像按照数学意义上y = -x对称，那么需使用这种转换：

关于对称轴为y = kx 或y = kx + b的情况，同样需要考虑这方面的问题。

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各种图形变换与android的Matrix联系

• 变换：默认时，这四种变换都是围绕（0，0）点变换的，当然可以自定义围绕的中心点，通常围绕中心点。

1. Translate，平移变换
2. Scale，缩放变换
3. Rotate，旋转变换
4. Skew，错切变换

• 对于每一种变换都提供了三种操作：

1. set（设置Matrix的值）
2. post（后乘，以为自己，把自己从另一个矩阵的右边相乘）
3. pre（先乘，以为自己，把自己从另一个矩阵的左边相乘）

• 由上矩阵解析可得左中右分别scale（缩放），rotation（旋转）和 translation（平移）在Android中的矩阵表示：

1. 

　　参考api：

/**
     * Postconcats the matrix with the specified translation.
     * M' = T(dx, dy) * M
     */
    public boolean postTranslate(float dx, float dy) {
        return native_postTranslate(native_instance, dx, dy);
    }

Matrix中set、pre、post运算顺序

1、setScale(sx,sy)，首先会将该Matrix设置为对角矩阵，即相当于调用reset()方法，然后在设置该Matrix的MSCALE_X和MSCALE_Y直接设置为sx,sy的值 

2、preScale(sx,sy)，不会重置Matrix，而是直接与Matrix之前的MSCALE_X和MSCALE_Y值结合起来（相乘），M' = M * S(sx, sy)。

3、postScale(sx,sy)，不会重置Matrix，而是直接与Matrix之前的MSCALE_X和MSCALE_Y值结合起来（相乘），M' = S(sx, sy) * M。

Matrix matrix = new Matrix();
    float[] points = new float[] { 10.0f, 10.0f };

    matrix.postScale(2.0f, 3.0f);// 第1步
    matrix.preRotate(90);// 第2步
    matrix.setScale(1.4f, 2.6f);// 第3步
    matrix.postTranslate(8.0f, 7.0f);// 第4步
    matrix.preScale(1.5f, 2.5f);// 第5步
    matrix.mapPoints(points);
    Log.i("test", points[0] + "");
    Log.i("test", points[1] + "");

 结果为点坐标依旧为为(29.0，72.0) 

经过计算，可以发现，在第3步setScale之前的第1、2步根本就没有用了，直接被第3步setScale覆盖，在从第3开始执行的。

顺序为2---1----3----5----4，因为2、1被覆盖了，所以没有效果，相当于直接执行3-----5----4

总结：最后可以得出结论，在对matrix该次变换之前的所有设置中，先检测有没有setScale，如果有，直接跳到setScale那一步开始执行变换，然后在倒着执行下面所有的pre...变换，在顺着执行所有post....的变换。所以在对Matrix变换设置的时候，一定要注意顺序，不同的顺序，会有不同的结果。 

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