SHP（光滑粒子流体动力学）流体模拟实现二：SPH算法（1）-数学原理

流体模拟（二）

SPH算法的数学原理：

标量场和矢量场

        如果空间区域内任意一点P，都有一个确定的数f(P)，则称这个空间区域内确定了一个标量场，如果空间区域内任意一点P，都有一个确定的向量vF(P)，则称这空间区域内确定了一个矢量场。例如，流体中的密度，就是标量场（密度场），而速度，就是矢量场（速度场）。

 

偏导数

若z=f(x,y)，则z对x的偏导数为：

同理对y的偏导数只要将x改为y即可。

哈密顿算子

哈密顿算子∇在流体力学中非常重要，这里介绍一下哈密顿算子，所谓“算子”，就是那种不能单独存在，必须和其他符号放在一起的一种数学符号，例如微分中的那个“d”。哈密顿算子的定义如下：

哈密顿算子有很多有趣的特性，它本身虽然并不是一个矢量，但很多运算确实可以把它视为一个矢量，例如把它作用在一个标量场A=f(x,y,z)上，那么

这个运算可以视为一个矢量和标量的乘法，得到的∇A是一个矢量场，称为A的“梯度”，梯度的含义就是标量场A在某处变化快慢和方向，比如一个标量场H(x,y)是一座高山在(x,y)处的高度，则H的梯度是该高山在某处陡峭的程度，并且方向指向高处。

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下面两个图中，标量场是黑白的，黑色表示大的数值，而其相应的梯度用蓝色箭头表示：

                                                                                                  

 而如果把哈密顿算子作用在一个矢量场A上，得到的∇∙A称为矢量场A的“散度”，散度的计算和矢量的点积运算相似，得到的是一个标量场。

散度的意义就是描述一个矢量场“发散”的程度，例如下面的两个矢量场，左边的有很大的散度，而右边的散度为0。

                                                                                                       

拉普拉辛算子

拉普拉辛算子∇2是二阶微分算子，有时也可写作Δ或者∇∙∇

例如对于A=f(x,y,z)：

我们到目前为止已经介绍完了后面章节用到的基本数学概念。