对于翻译性的文章，不像是母语文章你看一句话就可以开始总结一句话，而是先得翻译完一句话之后，再进行总结。有一个误区是：总以为好不容易翻译完读懂了一句话就是学会了这一句话，其实不然，仍需去总结理解这句翻译完的话
有理数及其性质：
p1，p2 有理数的定义
|| 有理数的定义：可以被表示为小数形式m/n(m - 整数 n - 自然数)的数，叫做有理数。有理数有符号Q表示。正有理数由符号Q+表示
1，任意两个有理数由以下3种关系中的唯一一种关系联系： > < =
2，存在一个定理，适用于任意两个和等于有理数c的有理数a，b
3，存在一个定理，适用于任意两个积等于有理数c的有理数a，b
p3，p4 有理数中 大小关系与运算的联系
|| 有关有理数间大小关系的性质：> < = 都具有传递性
|| 有理数加法运算的性质：满足加法交换律，加法结合律，存在0幺元，存在相反数 (没有加法分配律什么的)
|| 有理数乘法运算的性质：满足乘法交换律，乘法结合律，存在1幺元，存在倒数 (没有乘法分配律什么的)
|| 有理数乘法与加法运算的联系：关于加法的乘法分配律
|| 有理数大小关系与运算的联系：
加法运算：同加一个数，大小关系保持不变
乘法运算：同乘一个大于0的数，大小关系不变，同乘一个小于0的数，大小关系相反
|| 阿基米德公理 ( 又称阿基米德性质)：
给出任何数，你总能够挑选出一个整数大过原来数。
给出任何正数，你总能够挑选出一个整数其倒数小过原来的数。
即任意两个有理数a,b ，若a < b ,则存在自然数n 使得 a+a+a…(共+n次) > b
实数与其性质
p5，p6
实数定义
|| 实数定义：可以表示为无限小数的数称为实数，由符号R表示
其可分为正实数R+，负实数R-，n级实数。
|| 实数的模：±A, a1a2…的模为+A, a1a2… ，0的模为其本身，由符号 | | 表示
p7，p8
实数中的有理数和无理数
|| 有理数转实数：所有的有理数都是实数，有理数a= m/n转为实数a = ±A, a1a2…需要m除以n。
当商为有限小数时，则由两种写法：2.45670000… / 2.4566999…
举个例子：31/3 = 1 1/3 = 0.333… 且30.3333… = 0.999999… ，故 0.9999 = 1.0000
|| 无理数的定义：实数中不属于有理数的数即是无理数
例子：不存在任何一个有理数a 可以使得 a² = 2 反证法：设根号2 = m/n， m/n不可约分
实数中的比较算法（即实数之间的大小关系及运算）
|| 实数相等的定义：若a = ±A, a1a2… 和 b = ±B,b1b2…相等，即符号相符，且A = B, a1=b1, b2=b2…
|| 实数不相等时：
1，若a≥0 b≥0，看对应数字第一个不相等处k，若ak > bk,则a>b
2，若a<0 b<0，看模，该实数的模大则该实数小
3，若a>0 b≤0，直接a>b
|| 阿基米德公理( 对于实数)：a = +A，a1a2… 则 A+1 > a
||大小关系的性质：实数大小关系的性质：> < = 的传递性
|| 运算：只有有理数部分才可以进行运算，故此处翻到上面见有理数运算部分
数集与数集的界
p9, p10,p11,p12
|| 非空集合：包含有不同的有理数，当满足关系 【 — 】，分为有上界的集合和有下界的集合，
其中有理数M为集合的上界/下界 （集合的界是一个有理数！）
关于上下界：如果集合已知有一个上界/下届，那么集合必有无数个上界/下界
关于上下确界：最小的上界是上确界，最大的下界是下确界
|| 上下确界的精确定义：【 — 】
第一个定义是为了说明这个数是集合的一个上界，第二个定义是为了说明最值性( 最大或者最小)
|| 有关集合上下确界的定理：
定理一： 如果集合非空，且有上界/下界，那么它存在上确界/下确界。上确界的证明：
情况一：当原集合中有有限个数，按整数位，第一个小数位，第二个小数位...以此类推，各取 在指定位 拥有最大数的数组成集合，当最终的集合只剩下一个数时，该数是原集合的最大值，即是界，也是上确界。得证！
情况二：当原集合中有无限个数，找出各个位数的最大值，组成上确界M=A,a1a2...：( 构造一个最值帮助证明 )
反证法证明定义1：假设存在一个数x = B,b1b2b3..., x∈X：x > M， 根据实数的比较法，若x > A，要么B>A，要么bk>ak, 不符合假设，则不存在这种数，故 任何x∈X x≤ M;
反证法证明定义2：假设有比M更小的数 M‘ = A',a1'a2'...为上确界，根据实数的比较法，既然这个M' 不是每个位数上的最大数字组合，那么这时一定会有一个数大于它。故 M就是最大的
因此M 即为确界
推论 ---> 如果集合非空，且有界，那么它存在上确界和下确界
|| 常用符号：任意 // 存在 // 唯一(!) // 推出 // 当且仅当（等价） // 自然数集 // 整数集 // 取整[]
