回文串问题求解

leecode 5 最长回文子串

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。

示例 1：

输入: "babad"
输出: "bab"
注意: "aba" 也是一个有效答案。
示例 2：

输入: "cbbd"
输出: "bb"

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-substring

解法

• 暴力求解法，,直接嵌套3层循环，这个算法由于太过暴力，这里不讲，需要知道的是其时间复杂度到了O(n^3)
• 中心扩展法
  • 从左右到右，以每一个下标为中点进行查找，判断是否能构成最长回文串，
  • 算法注意：奇偶需要区分，例如bb其中心为下标0，1之间
  • 其时间复杂度为O(n^2)
• manacher（马拉车）算法，其时间复杂度可达到仅为O（n）

manacher 算法是本文的重点，其可在O(n)的时间内找到以所有下标为中点的回文串长度。

马拉车算法

mx:最长回文串的右边界

mid:最长回文串的中心

len[i]:以下标i为中心的回文串长度

j:i以mid为中点的对称下标

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算法思想：

1. 从左到右计算以i为中心的最长回文串长度
2. 首先判断mx-i是否小于len[j]，是的话，le[i]=len[j],否则说明mid被包含在len[j]的半径之中，无法直接通过mid映射求出len[i]的长度，需要以i为中心一步一步进行中心扩展求出len[i]，具体分析见后文
3. 如果i+len[i]>mx(上一个最长回文串长度)，说明现在的最长回文串长度右边界值已经发生了更改，需要更改回文串中心mid以及右边界right

这是一个经典、充满趣味的算法，从前文我们知道了，奇回文串跟偶回文串需要区分对待，马拉车算法会构造一个新的字符串，该字符串在原字符串的每个元素之间加入了 '#',并且将下标为0的元素(即第一个字符)设置成'$'，设置边界。现在假设Len[i]为以第i个元素为轴心的回文串半径长度(注意是半径)。那么原数组"abcbad"就变成"$#a#b#c#b#a#d#",通过计算其每个元素最长回文串的半径长度，可以得出Len数组，可以知道最大的Len[i]-1就是原数组的最大长度。

​

知道最大长度就是max(Len[i])-1后，那么问题就转换成求Len数组的值。马拉车算法用到了一个非常巧妙的方法去求解Len数组的值。

首先从左往右依次计算Len[i]，j为i关于mid的对称点，当计算Len[i]时，Lenj已经计算完毕。设right为之前计算中最长回文子串的右端点的最大值，并且设取得这个最大值的中心位置为mid，分两种情况考虑：

第一种情况：i<=mx

1. 如果出现Len[j]<mx-i，那么i的半径长度就为Len[j]：

   由回文串的对称性可知，Len[i]>=Len[j]。Len[i]>Len[i]的情况当且仅当i的右边回文串长度超过了mx，此时由对程序可知以i为中心的回文串左边的长度应该往左伸展，越过mid。

   因为Len[j]<mx-i,说明Len[j]完全包含于mid的左半径中，即存在x于y不对称，其中x字符串的长度为 mx-i-len[j] 。对于i来说，只有存在y与x对称，并且存在超过mx的部分与i左边字串对称才有Len[i]>Len[i]，其余情况都是Len[i]=Len[j]，所以在这种情况下，Len[i]=Len[j].

                          ​

第二种情况 :i>mx

此时不在回文串内，无法利用镜像减少步长，必须从半径1开始扩展。

1. 如果出现len[j]>mx-i

   如果Len[j]>=P-i,由对称性，说明以i为中心的回文串可能会延伸到P之外，而大于P的部分我们还没有进行匹配，所以要从P+1位置开始一个一个进行匹配，直到发生失配，从而更新P和对应的po以及Len[i]。     ​

2. 也就是初始化的时候，mx=0，i=1此时 i>mx,直接赋值为1，然后更新mid,mx.

最大长度的推理

假设现在Len数组中，最大的值为Len[i]，那么，新数组中，回文串总长度为2Len[i]-1（因为加上'#'后都变成奇数回文串）,其中，2Len[i]-1中，有一半是'#',所以'#'的长度为Len[i]，所以剩下的回文串长度为Len[i]-1。

精妙之处

1. 通过添加字符'#'来规避处理奇偶回文串的麻烦，同时通过'$'作为边界，可以轻松检测边界。

2. 通过镜像对称，减少步长。

string longestPalindrome(string s) {
    string str(s.size() * 2 + 2,'#');
    for (int i = 0, j = 2; i < s.size(); ++i, j += 2)
        str[j] = s[i];
    str[0] = '$';
    cout << str<<endl;
    int strLen = str.size(), right = 0, maxIndex = 0;
    vector<int> palindromeLen(strLen, 0);
    for (int i = 1, mid = 0; i < strLen; ++i) {
        //如果不超过当前最长字符串的右边界
        //则需要判断其对称位置的长度是否大于right-i，是的话说明会超过边界，有更长的回文串
        if (i < right)
            palindromeLen[i] = min(right - i, palindromeLen[mid * 2 - i]);
        else
            palindromeLen[i] = 1;
        //再做一次线性查找
        while (str[i + palindromeLen[i]] == str[i - palindromeLen[i]])
        {
            palindromeLen[i]++;
            
        }
        //说明现在的最长字符串已经更替，需要重新更新有边界
        if (i + palindromeLen[i] > right) {
            mid = i;
            right = i + palindromeLen[i];
        }
        
        if(palindromeLen[i] > palindromeLen[maxIndex])
            maxIndex =  i;
        //cout << " i: " << i << " palindromeLen[i]: " << palindromeLen[i] <<" mid: "<<mid<< " right: " << right<<endl;
    }
    return s.substr((maxIndex- palindromeLen[maxIndex]) /2, palindromeLen[maxIndex] - 1);
}

647 给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被计为是不同的子串。

示例 1:

输入: "abc"
输出: 3
解释: 三个回文子串: "a", "b", "c".
示例 2:

输入: "aaa"
输出: 6
说明: 6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa".

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/palindromic-substrings

解法：

与前文求最长回文串类似，只要熟悉马拉车算法，然后通过马拉车算法求出所有下标的最长回文串长度，除以2再相加就得到我们要的结果

这里有俩个容易出错的点

1.返回的时候应该选择哪些下标的回文串长度进行相加

例如："aba"，变成马拉车之后，字符串变为"$#a#b#a#",其回文串长度数组为 [0,1,2,1,3,1,2,1],如果你像我一样天真地以为把原本aba对应的下标的回文串长度-1燃火相加就ok，那你就大错特错啦，”aba“确实可以这样子做，只相加(2-1)+(3-1)+(2-1),但是这只是个例，如果出现"ccc"这样子的字符串，结果应该是6个回文子串（{"c","c","c","cc","cc","ccc"}）,其回文字符串为"$#c#c#c#",对应的数组长度为[0,1,2,3,4,3,2,1],如果按照上文的计算方法吗，则为(2-1)+(4-1)+(2-1)=5,少计算了一个，看到没，这就是问题的所在，以3个字符的字符串为例，直接算对应下标半径长度的话，存在重复的回文串与不存在重复字符的回文串的计算方法不同，因此应该要把所有的回文串半径长度先除以2再相加，就可得到正确的回文串长度。

2.设置好起始位置符号$与终止符号#

　　有个这俩个符号，在比较的时候不用做下标越界处理，方便很多

vector<int> manacher(const string& s) {
    string str(s.size() * 2 + 2, '#');
    for (int i = 0, j = 2; i < s.size(); ++i, j += 2)
        str[j] = s[i];
    str[0] = '$';
    cout << str << endl;
    int right = 0;
    vector<int> len(str.size());
    for (int i = 1, mid = 0; i < str.size(); ++i)
    {
        if (i < right)
            len[i] = min(right - i, len[mid * 2 - i]);
        else
            len[i] = 1;
        while (str[i + len[i]] == str[i - len[i]])
            len[i]++;
        if (i >= right)
        {
            mid = i;
            right = i + len[i];
        }
    }
    return len;
}
int countSubstrings(string s) {
    int sum = 0;
    if (s.size() <= 0)
        return sum;
    vector<int> len(manacher(s));
    for (int i = 1; i < len.size(); ++i)
    {
        //cout << (len[i]) << endl;
        sum += (len[i])/2;
    }
    return sum;
}

void  countSubstringsTest() {
    int a=countSubstrings("aaccc");
    cout << "结果是： " << a << endl;
}