[BZOJ3609]-[Heoi2014]人人尽说江南好-神分析+博弈

说在前面

刷博弈……

题目

题目大意

公平组合游戏
给出 $n$ 堆石子，每堆石子初始都只有一个
可以合并两堆石子，得到一堆石子，石子个数等于原来两堆石子数之和
对于双方玩家，唯一允许的操作是：将两堆石子合并，且合并之后石子个数不能超过 $m$
询问是否先手必胜
范围： $n,m\leq 10^9$
数据组数： $T\leq 10$

输入输出格式

输入格式：
第一行一个整数 $T$ ，表示数据组数
接下来 $T$ 行，每行两个整数 $n,m$ ，含义如题

输出格式：
对于每组数据，输出一行：
如果先手必胜输出 $0$ ，不然输出 $1$

解法

（感觉比较神的一道题，看了lych的题解，这里只是整理思路）

首先可以确定，只有最终的合并次数，对答案有影响
偶数次先手必败，奇数次先手必胜

那么对于任意一个初始局面，先手都希望合并奇数次，而后手都希望合并偶数次
结论是，双方一定都可以达到合并次数最多的局面
合并次数最多的情况，显然就是石子堆都变成了这样： $m,m,\cdots,n\bmod m$

证明：假设这样的合并次数是偶数，那么后手一定可以达到这个局面

首先如果 $n\leq m$ 那么显然只能是这个局面
考虑现在石子个数是 $m+1$ （此时 $m$ 为奇数，偶数情况类似），首先先手肯定会合并两个石子，称这一堆为「大堆」，然后后手会将一堆石子合并到「大堆」里。
接下来，如果先手合并了两个石子，后手就把这两个石子和最大的一堆合并。不然的话他们都会将石子向「大堆」合并。每次后手操作之后，大堆总是奇数个，所以到达 $(m,1)$ 局面时，后手胜

同理，对于后手，可以推广到 $(m,3)$ 局面， $(m,5)$ 局面
对于先手，也可以用类似的证明。比如对于 $m+2$ 颗石子，先手始终将石子向大堆合并，最后一步要么是 $(m,1,1)$ ，要么是 $(m-1,2,1)$ ，然后可以得出先手必胜
然后也可以推广到 $m,m,m\cdots$ 的局面

于是这题就做完了

下面是代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std ;

int T ;
long long N , M ;

int main(){
    scanf( "%d" , &T ) ;
    while( T -- ){
        scanf( "%lld%lld" , &N , &M ) ;
        long long t = ( N / M ) * ( M - 1 ) + ( N %M ? N %M - 1 : 0 ) ;
        if( t&1 ) puts( "0" ) ;
        else puts( "1" ) ;
    }
}