[BZOJ4147]-[AMPPZ2014]Euclidean Nim-博弈+分类讨论

说在前面

状态好差呀….

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题目

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题面

Euclid和Pythagoras在玩取石子游戏，一开始有 $n$ 颗石子。
Euclid为先手，他们按如下规则轮流操作：

• 若为Euclid操作，如果 $n<p$，则他只能新放入 $p$ 颗石子，否则他可以拿走 $p$ 的倍数颗石子
• 若为Pythagoras操作，如果 $n<q$，则他只能新放入 $q$ 颗石子，否则他可以拿走 $q$ 的倍数颗石子

拿光所有石子者胜利。假设他们都以最优策略操作，那么获胜者是谁？
范围：$p,q,n\leq 10^9$
数据组数：$T\leq 1000$

输入输出格式：

输入格式：
第一行一个整数 $T$，表示数据组数
接下来每行三个整数 $p,q,n$，含义如题

输出格式：
对于每组数据，输出一行一个字母（胜者的首字母大写）表示答案

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解法

神tm分类讨论，me还是太菜了
首先，这个游戏对于双方的决策不一样，因此不能用Nim和SG那些东西
但是这毕竟是一个游戏，我们需要找到它的某一种 必胜/败 态，然后展开分析

这里就写一种吧…其他的可以自己想一想，也可以看看别人的题解
当 $p>q$ 且 $n>q$ 时，先手只能选择 $+p$ ，后手只需要一直取就好了
因为这种情况，就是 $n+kp\equiv 0\pmod p$，显然存在一个正整数解，所以后手必胜

从这个切入点开始，讨论 $n,p,q$ 大小关系即可

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下面是代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define First_win { puts( "E" ) ; continue ; }
#define Second_win { puts( "P" ) ; continue ; }
using namespace std ;

int T , P , Q , N ;

int gcd( int a , int b ){
    if( !b ) return a ;
    return gcd( b , a%b ) ;
}

int main(){
    scanf( "%d" , &T ) ;
    while( T -- ){
        scanf( "%d%d%d" , &P , &Q , &N ) ;
        int d = gcd( P , Q ) ;
        if( N % d ){ puts( "R" ) ; continue ; }

        N /= d , P /= d , Q /= d ;
        if( P == Q ) First_win ; // P = Q = 1
        if( N % P == 0 ) First_win ;
        if( N % Q == 0 ) Second_win ;

        if( P > Q ){
            if( N < P ) Second_win ;
            if( N % P >= Q ) Second_win ;
        //  if( N % P + Q < P ) Second_win ;
            if( !( ( N % P ) % ( P - Q ) ) ) First_win ;
            Second_win ;
        }

        if( P < Q ){
            if( N >= P ) First_win ;
            // N < P
            if( N + P < Q || ( N + P )%Q >= P ) First_win ;
            if( !( N % ( Q - P ) ) ) Second_win ;
            First_win ;
        }
    }
}