BZOJ4145 [AMPPZ2014]The Prices [DP]

BZOJ4145 [AMPPZ2014]The Prices [DP]

Description

你要购买m种物品各一件，一共有n家商店，你到第i家商店的路费为$d[i]$，在第i家商店购买第j种物品的费用为$c[i][j]$，求最小总费用。

Input

第一行包含两个正整数n,m(1<=n<=100,1<=m<=16)，表示商店数和物品数。

接下来n行，每行第一个正整数$d[i](1<=d[i]<=1000000)​$表示到第i家商店的路费，接下来m个正整数，依次表示$c[i][j](1<=c[i][j]<=1000000)​$。

Output

一个正整数，即最小总费用。

题解

看到了一篇不错的博客，感谢这位大佬的博客

设定状态$f[i][j]$表示在前$i$家商店，购买前$j$集合中的物品所需的最小总费用。

路费的问题怎么解决难以描述，还是看代码里面的注释比较吼。

很吼的代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll Cost[110][20],f[110][66000],d[110];
int main(){
    ll n,m;scanf("%lld%lld",&n,&m);
    ll maxm=(1LL<<m)-1;
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&d[i]);
        for(ll j=1;j<=m;j++)
            scanf("%lld",&Cost[i][j]);
    }
    memset(f,0x7f,sizeof(f));
    f[0][0]=0;//初始化
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=maxm;j++)f[i][j]=f[i-1][j]+d[i];
        //强制把将每一种状态都设定为去了第i个商店（即强制加上第i个商店的路费）,假设在当前状态一定能够得到一个更优解
        //后面在取min时可能会抹掉这一个假设，也可能不会（这个强制的路费只可能在最后一个for循环里被抹掉*）
        //确保 在当前商店有一个最优的费用时，路费已经被算上**
        for(int j=0;j<=maxm;j++)
            for(int k=0;k<m;k++){
                if(j&(1LL<<k))continue;//取j的补集进行状态转移
                f[i][j|(1LL<<k)]=min(f[i][j|(1LL<<k)],f[i][j]+Cost[i][k+1]);//第一个for循环已经确保了路费被加上**
            }
        for(int j=0;j<=maxm;j++)f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j]);
        //假设不成立，即到前i个商店（加上了第i个商店的路费）买物品的花费比到前i-1个商店买物品的花费高，会抹掉强制加上的路费*
    }
    printf("%lld",f[n][maxm]);return 0;
}

经验

• 复杂一点的DP，可以采用假设法，假设当前状态更优，最后再更新最优解
• 尽量枚举当前状态的补集来推到更“远”的状态，这样可以避免许多恶心的初始化。 比如这里用$f[i][j|(1<<k)]=...$而不是$f[i][j]=...$