【2020.2.7 练习赛】 T3-蛋糕塔（dp-完全背包）

来源：JZOJ

题目描述

$Hl$ 高中要举行一场蛋糕塔比赛。注意，不是 $dota$ 比赛，而是蛋糕塔比赛。学校会提供 $N$ 种不同类型的蛋糕，第 $i$ 种蛋糕的高度为 $Hi$ $(5<=H i <=T )$，营养价值为 $Vi$ $(1<=Vi<=1,000,000 )$，并且保证所有蛋糕的高度为 $5$ 的整数倍，每种类型的蛋糕没有数量限制。

蛋糕塔比赛的规则就是要求按照提供的蛋糕，垒成一个高度不超过 $T$
$(1<=T<=1,000 )$的蛋糕塔，并且要求这个蛋糕塔所有蛋糕的营养价值累加和最高。

因为蛋糕不是很结实，参加比赛的小 $x$ 发现一个现象，如果某块蛋糕的高度超过 $K$，那么这块蛋糕下面的所有蛋糕的高度都将被压缩为自己高度的 $4/5$
$4/5$，但是营养价值不会丢失。发现这个情况后的小 $x$ 很兴奋，现在他想知道，如何安排自己的蛋糕塔，能让营养价值最高。

解题思路

• 仍然是一道 $dp$ （抹不去的心酸），显然是完全背包的变形，蛋糕能压缩，这个问题有点烦。那么，如何处理呢？O(∩_∩)O
• 首先，我们不用超过 $k$ 的大蛋糕，就按小蛋糕做一遍完全背包，（如果完全背包不会的话，自行查资料）当然了，循环 $j$ 当然不只是枚举到 $t$ 了，考虑压缩的情况，应该枚举到 $t*5/4$ ；
• 然后再一重循环枚举大蛋糕， $dp[(t-h[i])*5/4]+v[i]$ 就是这个蛋糕放在最上面把下面所有的蛋糕压缩得到的营养价值，为什么 $(t-h[i])*5/4$ 就是大蛋糕下面能达到的高度？因为我们想 $t-h[i]$ 是压缩后大蛋糕下面所有蛋糕的最大高度，它们都被压缩成了原来高度的 $4/5$ 所以我们 $*5/4$ 就是蛋糕压缩前能达到的最大高度，这样做就十分方便了；

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[105],h[105],dp[2010];
int n,t,k,ans=0;
void Dp()
{
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for (int i=1;i<=n;i++)
	 for (int j=h[i];j<=t*5/4;j++)
	  dp[j]=max(dp[j],dp[j-h[i]]+v[i]);  //完全背包
}
void work()
{
	ans=dp[t];
	for (int i=1;i<=n;i++)
	 if (h[i]>=k) ans=max(ans,dp[(t-h[i])*5/4]+v[i]);  //取大蛋糕
}
int main()
{
	freopen("cheese..in","r",stdin);
	freopen("cheese..out","w",stdout);
	scanf("%d %d %d",&n,&t,&k);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&v[i],&h[i]);
	Dp();
	work();
	printf("%d",ans);
	return 0;
}