【考题详解】 4月DP练习赛题解

跑步[Neal Wu, 2007]

奶牛们打算通过锻炼来培养自己的运动细胞，作为其中的一员，贝茜选择的运动方式是每天进行N(1 <= N <= 10,000)分钟的晨跑。在每分钟的开始，贝茜会选择下一分钟是用来跑步还是休息。贝茜的体力限制了她跑步的距离。更具体地，如果贝茜选择在第i分钟内跑步，她可以在这一分钟内跑D_i(1 <= D_i <= 1,000)米，并且她的疲劳度会增加1。不过，无论何时贝茜的疲劳度都不能超过M(1 <= M <= 500)。如果贝茜选择休息，那么她的疲劳度就会每分钟减少1，但她必须休息到疲劳度恢复到0为止。在疲劳度为0时休息的话，疲劳度不会再变动。晨跑开始时，贝茜的疲劳度为0。还有，在N分钟的锻炼结束时，贝茜的疲劳度也必须恢复到0，否则她将没有足够的精力来对付这一整天中剩下的事情。
请你计算一下，贝茜最多能跑多少米。
程序名: cowrun
【输入格式】
第1行: 2个用空格隔开的整数：N 和 M
第2..N+1行: 第i+1为1个整数：D_i
【输入样例】 (cowrun.in)
5 2
5
3
4
2
10
【输出格式】
第1行: 输出1个整数，表示在满足所有限制条件的情况下，贝茜能跑的最大距离
【输出样例】 (cowrun.out)
9
【输出说明】
贝茜在第1分钟内选择跑步（跑了5米），在第2分钟内休息，在第3分钟内跑步（跑了4米），剩余的时间都用来休息。因为在晨跑结束时贝茜的疲劳度必须为0，所以她不能在第5分钟内选择跑步。

这是一道动态规划的题目，有两个状态：时间和疲劳值。因此我们就可以设F[i][j]为前i分钟疲劳值为j的最大跑步距离。但是这道题目有一点特殊，因为有3种情况。
1.若当前休息且疲劳值为0，有可能是由上一秒疲劳值为0转移过来的。
2.若当前跑完步后准备休息，那么直接休息到底，即直接转移到休息完的状态
3.这一秒跑步且上一秒也跑步，直接转移

基于上述三种情况，我们可以得到3个状态转移方程
1. $F[i][0]=max(F[i][0],F[i-1][0])$
2. $F[i+j][0]=max(F[i+j][0],F[i][j])$ ,表示由当前状态直接休息到底
3. $F[i][j]=max(F[i][j],F[i-1][j-1]+a[i])$ ,其中a[i]表示跑步的时间，需要注意的是我们必须判断上一个位置知否合法。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000000];
int F[20000][1500];
inline int Max(int a,int b,int c){return max(a,max(b,c));}
int main()
{
    freopen("cowrun.in","r",stdin);
    freopen("cowrun.out","w",stdout);
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for (int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        F[i][0]=max(F[i-1][0],F[i][0]);//判断上一部也是休息的情况 
        for (int j=1;j<=m;++j)
        {
            if (F[i-1][j-1]>0 || j==1) F[i][j]=max(F[i-1][j-1]+a[i],F[i][j]);//判断上一步是运动的状况 
            F[i+j][0]=max(F[i+j][0],F[i][j]);//直接修休息到下一步 
        }
    }
    cout<<F[n][0]<<endl;
    fclose(stdin);fclose(stdout);
    return 0;
}

渡河问题[Jeffrey Wang, 2007]

Farmer John以及他的N(1 <= N <= 2,500)头奶牛打算过一条河，但他们所有的渡河工具，仅仅是一个木筏。
由于奶牛不会划船，在整个渡河过程中，FJ必须始终在木筏上。在这个基础上，木筏上的奶牛数目每增加1，FJ把木筏划到对岸就得花更多的时间。
当FJ一个人坐在木筏上，他把木筏划到对岸需要M(1 <= M <= 1000)分钟。当木筏搭载的奶牛数目从i-1增加到i时，FJ得多花M_i(1 <= M_i <= 1000)分钟才能把木筏划过河（也就是说，船上有1头奶牛时，FJ得花M+M_1分钟渡河；船上有2头奶牛时，时间就变成M+M_1+M_2分钟。后面的依此类推）。那么，FJ最少要花多少时间，才能把所有奶牛带到对岸呢？当然，这个时间得包括FJ一个人把木筏从对岸划回来接下一批的奶牛的时间。
程序名: river
【输入格式】
第1行: 2个用空格隔开的整数：N 和 M
第2..N+1行: 第i+1为1个整数：M_i
【输入样例】 (river.in)
5 10
3
4
6
100
1
【输入说明】
FJ带了5头奶牛出门。如果是单独把木筏划过河，FJ需要花10分钟，带上1头奶牛的话，是13分钟，2头奶牛是17分钟，3头是23分钟，4头是123分钟，将5头一次性载过去，花费的时间是124分钟。
【输出格式】
第1行: 输出1个整数，为FJ把所有奶牛都载过河所需的最少时间
【输出样例】 (river.out)
50
【输出说明】
Farmer John第一次带3头奶牛过河（23分钟），然后一个人划回来（10分钟），最后带剩下的2头奶牛一起过河（17分钟），总共花费的时间是23+10+17 = 50分钟。

这可能是一道最基础的线性且以为的动态规划，类似于公交乘车的思想。即，设F[i]为前i头牛能够度过和的最小话费，那么就枚举j，当前花费为前j头牛的花费加上剩下几头牛的花费。那么就可以写出这道题目的状态转移方程：

F [i] = m i n (F [i], F [j] + c o s t [i - j])

$F[i]=min(F[i],F[j]+cost[i-j])$ cost[]类似于一个前缀和，统计的是话费的总和。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000000];
int F[20000][1500];
inline int Max(int a,int b,int c){return max(a,max(b,c));}
int main()
{
    freopen("cowrun.in","r",stdin);
    freopen("cowrun.out","w",stdout);
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for (int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        F[i][0]=max(F[i-1][0],F[i][0]);//判断上一部也是休息的情况 
        for (int j=1;j<=m;++j)
        {
            if (F[i-1][j-1]>0 || j==1) F[i][j]=max(F[i-1][j-1]+a[i],F[i][j]);//判断上一步是运动的状况 
            F[i+j][0]=max(F[i+j][0],F[i][j]);//直接修休息到下一步 
        }
    }
    cout<<F[n][0]<<endl;
    fclose(stdin);fclose(stdout);
    return 0;
}

数字平方和

3.数字平方和
(numsquare.pas/c/cpp)
这是一个很无趣的数字游戏，给你n个整数，再给一个目标和sum。你可以调整n个数中任意一个数的大小，但是要让调整好的n个整数的平方和和sum相等。
比如有3个数 1 3 3。目标和是6，那么我们可以把1变成2，把两个3都变成1，这样就完成调整。但是为了提高难度，我们规定假设某个数为A_i，调整为B_i，那么要花费的代价是|A_i-B_i|*|A_i-B_i|。
那么上面的算法花费的代价就是9.当然肯定会有更小代价的算法。
现在问题提出来，把n个数调整到位，最小花费的代价是多少？
如果存在无解的情况，输出”-1”。
【输入】
第一行两个空格隔开的整数：n (1<=n<=10) and sum (1<=sum<=10,000)
接下来为n行，每行一个整数A_i(1<=A_i<=100)
【输出】
一个整数，花费的最小代价

【输入输出样例1】
——————
3 6
3
3
1
——————
5
——————

这道题其实难度较大。我们设F[i][j]为前i和数字累加和为j的最小话费。思维难度较大，但是我们可以去仔细地思考以下：每一个数字a[i]，可以改变，同样可以不改变，我们暂且考虑需要改变的情况。需要改变，我们便必然有这么一个改变后的数字，设这个数字我j,改变的花费为cost[i][j]，那么我们可以去枚举这个总和，也就是F数组的第二维状态，则可以知道其中必然包含j*j,设k为这个综合减去j*j的数字，则不能得出： $F[i][k+j*j]=(F[i][k+j*j],F[i-1][k]+cost[i][j])$ 其含义就是原来的数加上改变以后的数的最有值。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,sum;
int a[200000];
int F[20][20000];
int cost[1000][1000];
int main()
{
    freopen("numsquare.in","r",stdin);
    freopen("numsquare.out","w",stdout);
    cin>>n>>sum;
    memset(F,100,sizeof(F));F[0][0]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=0;j<=200;j++)
            cost[i][j]=pow( abs(a[i]-j),2 );
    for (int i=1;i<=n;i++)//枚举每一个数字
        for (int j=0;j*j<=sum;j++)//枚举每一个小于sum且需要与a[i]替换的完全平方数 
            for (int k=sum-j*j;k>=0;k--)//枚举剩下的数字
                F[i][k+j*j]=min(F[i][k+j*j],F[i-1][k]+cost[i][j]);
    cout<<(F[n][sum]!=F[15][0]?F[n][sum]:-1);
    fclose(stdin);fclose(stdout);
    return 0;
}