2018年1月31日，月全食，同时位于月球椭圆轨道近地点，152年一遇的超级蓝血月。椭圆曲线和和天文计算，日月星辰轨道与周期，数学的魅力就隐藏在其中。
一个三元函数在一个曲面上的积分，称之为曲面积分。曲面的质量、重心、转动惯量等计算问题导致了第一型曲面积分等概念。
第一型曲面积分
- 定义
设$Sigma$为分片光滑曲面，$f(x,y,z)$为定义在$Sigma$上的有界函数，$f(x,y,z)$在$Sigma$上对面积的积分为
其中$Delta S_i$为第$i$个小曲面块的面积。如果$f(x,y,z)$在$Sigma$上连续，则$underset{Sigma}iint f(x,y,z)mathrm{d}S$存在。
- 性质
与曲面$Sigma$的侧的选取无关，即$underset{Sigma}iint f(x,y,z)mathrm{d}S=underset{-Sigma}iint f(x,y,z)mathrm{d}S$，其中$-Sigma$表示曲面$Sigma$的另外一侧。
- 计算
- 方法1 直接法
设积分曲面$Sigma$由方程$z=z(x,y)$给出，$Sigma$在$xOy$面上的投影域为$D$，函数$z=z(x,y)$在$D$上有连续的一阶偏导数，$f(x,y,z)$在$Sigma$上连续，则
- 方法2 利用奇偶性和对称性
利用积分曲面的对称型和被积函数的奇偶性化简，同时可以考虑利用变量的对称性，对调变量去化简。
第二型曲面积分
- 定义
设$Sigma$为光滑有向曲面，$P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$在$Sigma$上有界，则
其中$(Delta S_i)_{yz}$表示有向曲面块$Delta S_i$在yOz坐标面上的投影。另外两个类似。如果P,Q,R在$Sigma$上连续，则$underset{Sigma}iint Pmathrm{d}ymathrm{d}z+Qmathrm{d}zmathrm{d}x+Rmathrm{d}xmathrm{d}y$存在。
- 性质
积分与曲面的侧有关，即
其中$-Sigma$表示曲面$Sigma$的另外一侧。
- 两类面积分的联系
其中$cosalpha,cosbeta,coslambda$为曲面$Sigma$上的点在指定侧的法线向量的方向余弦。
- 计算
- 方法1 直接法
设有向曲面$Sigma:x=(y,z),(y,z) in D_{yz}$，则
若有向曲面$Sigma$的法向量与$x$轴正向的夹角为锐角，即右侧，上式取”+”号，否则取”-“号。另外两个曲面同理。
- 方法2 高斯公式
设空间闭区域$Omega$是由分片光滑的闭曲面$Sigma$所围，函数$P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$在$Omega$上有连续一阶偏导数，闭曲面$Sigma$取外侧，则
- 方法3 补面用高斯公式
若要计算的面积分的积分曲面$Sigma$不封闭，且用直接法不方便，此时可以补一块曲面$Sigma_1$，使原曲面变为封闭曲面，则
等式右端的第一项如果满足高斯公式，则可用高斯公式计算。
两种面积分的转化与联系
我们知道对于向量$overrightarrow{a},overrightarrow{b}$围成的平行四边形面积的数值为$overrightarrow{a} times overrightarrow{b}$，假如给面积一个方向，那么面积也可以是一种向量，其方向垂直于该平面。那么回过来重新考虑第二型曲面积分，对于微分$mathrm{d}S$，将其视作一个向量，则其方向即为该点的法向量，设其方向余弦为$cosalpha,cosbeta,coslambda$。若将该面积向量沿着$x,y,z$三轴的方向分解，即是向$yOz,xOz,xOy$平面进行投影，即可得到
其中$mathbf{F}$为被积函数的向量形式，加下标的是按照$x,y,z$三轴的方向分解的分量。若要将左边的积分化成第一型曲面积分，只需$mathbf{F}$的方向与$mathrm{d}overrightarrow{S}$方向一致，由此即可得到