pat甲级1068 Find More Coins (30 分)

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题目描述

算法设计

这是一道0-1背包问题。设 $V_i$表示第 $i$个硬币的面值， $d(i,j)$表示在第 $1,2,\dots,i$个硬币中，任选一些硬币，是否能使总面值恰好为 $j$。假设所有硬币下标从1开始，那么边界条件为 $d(0,0)=true$，表示不选任何硬币的总面值为0。状态转移方程为

1. $j<V_i，d(i,j)=d(i-1,j)$
2. $j>=V_i，d(i,j)=d(i-1,j)||d(i-1,j-V_i)$（||是或关系运算符）

题目要比普通的0-1背包问题稍微麻烦一些，因为它要求打印字典序最小的解。为此，我们需要额外定义一个二维数组 $select$， $select(i,j)$表示在组成总面值为 $j$的硬币中，第 $i$个硬币是否被选中。我们进行递推时，下标从1~n进行递推。这时，将硬币按照面值大小从大到小排序，如果有解，我们按下标从n~1进行打印即可。

C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<int> v(n + 1);
    vector<bitset<105>> dp(n + 1), select(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> v[i];
    sort(v.begin() + 1, v.end(), greater<int>());
    dp[0][0] = select[0][0] = true;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j <= m; ++j) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if (j >= v[i]) {
                dp[i][j] = dp[i][j] || dp[i - 1][j - v[i]];
                if (dp[i - 1][j - v[i]])
                    select[i][j] = true;
            }
        }
    }
    if (!dp[n][m]) {
        cout << "No Solution";
    } else {
        bool output = false;
        for (int i = n; i >= 1; --i)
            if (select[i][m]) {
                cout << (output ? " " : "") << v[i];
                m -= v[i];
                output = true;
            }
    }
    return 0;
}