390. 消除游戏 Elimination Game

题目描述

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给定一个从1 到 n 排序的整数列表。
首先，从左到右，从第一个数字开始，每隔一个数字进行删除，直到列表的末尾。
第二步，在剩下的数字中，从右到左，从倒数第一个数字开始，每隔一个数字进行删除，直到列表开头。
我们不断重复这两步，从左到右和从右到左交替进行，直到只剩下一个数字。
返回长度为 n 的列表中，最后剩下的数字。

示例：

输入:
n = 9,
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8
2 6
6

输出:
6

解题思路

此题是约瑟夫问题的变体，可以总结递推公式求解。

下面通过举例来总结此问题的规律。当n=9时，子问题分解如下：

当前列表	删除方向
1 2 3 4 5 6 7 8 9	从左到右删除
2 4 6 8	将当前列表看成1 2 3 4，结果乘以2再返回
1 2 3 4	从右到左删除，结果返回
1 3	将当前列表看成2 4，结果减1再返回
2 4	将当前列表看成1 2，结果乘以2再返回
1 2	从左到右删除，结果返回
2	剩余1个数，结果返回

当n=10时，子问题分解如下：

当前列表	删除方向
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	从左到右删除
2 4 6 8 10	将当前列表看成1 2 3 4 5，结果乘以2再返回
1 2 3 4 5	从右到左删除，结果返回
2 4	将当前列表看成1 2，结果乘以2再返回
1 2	从左到右删除，结果返回
2	剩余一个数，结果返回

从上面可以看出，递归时需要判断的条件有两个。一个是删除方向，一个是列表的长度是否被2整除。

如果列表长度是奇数，并且是从左到右删除，例如是 1 2 3 4 5 6 7 8 9，那么结果和 1 2 3 4 5 6 7 8 相同。
如果列表长度是奇数，并且是从右到左删除，例如是 1 2 3 4 5 6 7 8 9，那么结果和 2 4 6 8 相同，也就是 1 2 3 4 乘以2。
如果列表长度是偶数，并且是从左到右删除，例如是 1 2 3 4 5 6 7 8，那么结果和 2 4 6 8 相同，也就是 1 2 3 4 的结果乘以2。
如果列表长度是偶数，并且是从右到左删除，例如是 1 2 3 4 5 6 7 8，那么结果是 1 3 5 7 ，也就是 2 4 6 8 的结果减1，也就是 1 2 3 4 的结果乘以2再减1。

递推公式如下（其中n代表列表长度，direc代表删除方向，0代表从左到右删除，1代表从右到左删除），并且f(1)=1：
$f(n, direc) = \left\{ \begin{aligned} 2*f(n/2, 1),direc=0\And\And n\%2=0 \\ f(n-1, 0),direc=0\And\And n\%2\not=0 \\ 2*f(n/2, 0)-1,direc=1\And\And n\%2=0 \\ 2*f(n/2, 0),direc=1\And\And n\%2\not=0 \\ \end{aligned} \right.$

代码如下：

class Solution {
public:
    int lastRemainingWithDirec(int n, int direction) { // direction等于0代表从左到右，等于1代表从右到左
        if (n == 1) return 1;
        else if (direction == 0) {
            if (n % 2 == 0) return 2 * lastRemainingWithDirec(n / 2, 1);
            else return lastRemainingWithDirec(n - 1, 0);
        }
        else {
            if (n % 2 == 0) return 2 * lastRemainingWithDirec(n / 2, 0) - 1;
            else return 2 * lastRemainingWithDirec(n / 2, 0);
        }
    }
    int lastRemaining(int n) {
        return lastRemainingWithDirec(n, 0);
    }
};