笔记：Solow 模型整理

假设

• 生产函数
  四个变量：产出 $Y$，资本 $K$，劳动 $L$以及效率 $A$：
  $F(t)=F(K(t),A(t)L(t))$
  $AL$称为有效劳动，以这种方式引入的技术进步称为哈罗德中性的。
  Solow模型中生产函数关于 $K，AL$规模报酬不变：
  $F(cK,cAL)=cF(K,AL)\qquad (1)$
  这样可以方便使用生产函数的紧凑形式。
  令 $c=1/AL$，有:
  $F(\frac{K}{AL},1)=\frac{1}{AL}F(K,AL)$
  $K/AL$是单位有效劳动的平均资本量， $F(K,AL)$即 $Y/AL$就是单位有效劳动的平均产出。定义 $k=K/AL,y=Y/AL,f(k)=F(k,1)$。那么 $y=f(k)$。

• 投入要素变化的假定
  假定劳动与效率都按固定比率增长：
  $\dot L(t)=nL(t) \\ \dot A(t)=gA(t)$
  $\dot X(t)$代表 $dX(t)/dt$，X的增长率是指 $\dot X(t)/X(t)$。
  $\frac{d ln X(t)}{dt}=\frac{d ln X(t)}{d X(t)}=\frac {X(t)}{X(t)}$
  上式说明了变量增长率等于其对书的变化率，根据这个条件可知，

  $ln L(t)=[ln L(0)]+nt\\ln A(t)=[ln A(0)]+gt$
  总产出分别用于消费和投资，且投资比例为 $s$；用于投资的每单位可以获得一单位的新资本，而现有资本按折旧率 $\delta$折旧，即：
  $\dot K(t)=sY(t)-\delta K(t)$

动态学

• $k$的动态学
  为表示简便，关于t的函数 $K(t),A(t),L(t),k(t),Y(t)$都将（t）省略。
  $\dot k=d(\frac{K}{AL})/dt=\frac{\dot K AL-K(\dot AL+A\dot L)}{[AL]^2}\\\quad\\=\frac{\dot K}{AL}-\frac{K}{AL}\frac{\dot L}{L}-\frac{K}{AL}\frac{\dot A}{ A}$
  将 $K/AL=k,\dot L/L=n,\dot A/A=g,\dot K=sY-\delta K$代入上式得：
  $\dot k=\frac{sY-\delta K}{AL}-kn-kg$
  再将 $Y/AL=f(k)$代入上式得：
  $\dot k=sf(k)-(n+g+\delta)k$上式是Solow模型的关键方程，第一项为单位有效劳动的实际投资，第二项称为持平投资，代表了使得 $k$保持在现有水平所需要的必要投资量。这个方程表明，若单位有效劳动的实际投资超过所需持平投资， $k$会上涨，反之 $k$会下降，两者相等时 $\dot k=0$, 即 $k$保持不变。
• 平衡增长路径
  易知 $k$总会收敛于 $k^*$, $A,L$增长率分别为 $n,g$，资本存量 $K$等于 $ALk$，因此 $K$的增长率为 $n+g$；
  由于规模报酬不变，所以 $Y$也是这个比率进行增长;
  工人平均资 $K/L$以及工人平均产出 $Y/L$增长率为 $g$。

储蓄率变化的影响

• 对产出的影响

如图，投资比例 $s$的提高使得投资曲线向上移动，进而使得 $k^*$增大。

• 对消费的影响
  我们记平衡增长路径上单位有效劳动的平均消费为 $c^*$，那么
  $c^*=f(k^*)-sf(k^*)=f(k^*)-(n+g+\delta)k^*$
  在平衡增长路径上，知道 $n,g,\delta$和 $s$就可以确定 $k^*$，所以可以把 $k^*$当作 $n,g,\delta$和 $s$的函数 $k^*(s,n,g,\delta)$。
  为了研究 $s$ 对 $c^*$的影响，我们将 $c^*$对 $s$求导：
  $\frac{\partial c^*}{\partial s}=[f'(k^*(s,n,g,\delta))-(n+g+\delta)]\frac{\partial k^*(s,n,g,\delta)}{\partial s}$
  根据上文， $s$ 的上升会提高 $k^*$,也就是说 $\partial k^*/\partial s$为正。因此上式正负取决于 $f'(k^*(s,n,g,\delta))$和 $(n+g+\delta)$大小关系，当这两者相等时消费取得最大值，这时的 $k^*$值被称为资本存量的黄金律水平。

• 对产出的长期影响
  为了研究储蓄率对产出的影响，将 $y=f(k^*)$对 $s$取对数，其中 $s$的函数 $k^*(s,n,g,\delta)$简写为 $k^*$：
  $\frac{\partial y^*}{\partial s}=f'(k^*)\frac{\partial k^*}{\partial s}$
  那么如何得到 $\partial k^*/\partial s$呢？
  我们知道，在平衡增长路径上满足：
  $sf(k^*)=(n+g+\delta)k^*$
  对 $s$求导得：
  $sf'(k^*)\frac{\partial k^*}{\partial s}+f(k^*)=(n+g+\delta)\frac{\partial k^*}{\partial s}$
  整理得：
  $\frac{\partial k^*}{\partial s}=\frac{f(k^*)}{(n+g+\delta)-sf'(k^*)}$
  则
  $\frac{\partial y^*}{\partial s}=f'(k^*)\frac{\partial k^*}{\partial s} =\frac{f'(k^*)f(k^*)}{(n+g+\delta)-sf'(k^*)}$
  如果转化成弹性形式则两者关系会更清楚些，所以我们可以将上式两边乘以 $s/y^*$转化为弹性形式(注意 $y^*=f(k^*)$)：
  $\frac{s}{y^*}\frac{\partial y^*}{\partial s}= =\frac{s}{f(k^*)}\frac{f'(k^*)f(k^*)}{(n+g+\delta)-sf'(k^*)}$
  为了化简，我们将 $s=(n+g+\delta)k^*/f(k^*)$代入上式：
  $\frac{s}{y^*}\frac{\partial y^*}{\partial s} =\frac{(n+g+\delta)k^*}{f(k^*)}\frac{f'(k^*)}{(n+g+\delta)-(n+g+\delta)k^*f'(k^*)/f(k^*)}$
  消去 $(n+g+\delta)$并整理得
  $\frac{s}{y^*}\frac{\partial y^*}{\partial s}=\frac{k^*f'(k^*)/f(k^*)}{1-k^*f'(k^*)/f(k^*)}$
  注意到分子分母都有 $k^*f'(k^*)/f(k^*)$,可以将其记为 $\alpha_k(k^*)$,也就是
  $\frac{s}{y^*}\frac{\partial y^*}{\partial s}=\frac{\alpha_k(k^*)}{1-\alpha_k(k^*)}$

收敛速度

我们知道，从 $k$收敛到平衡增长路径 $k^*$并不是瞬间完成的，那么它的速度是怎样的？
我们知道 $\dot k=sf(k)-(n+g+\delta)k$，所以可以把 $\dot k$看作 $k$的函数 $\dot k(k)$。在 $k=k^*$处对 $\dot k(k)$做一阶泰勒展开：
$\dot k \simeq [\frac{\partial \dot k(k)}{\partial k}|_{k=k^*}](k-k^*)$
当 $k<k^*$， $k$会增长，所以 $\dot k>0$，反之亦然。那么可以知道 $\partial \dot k(k) /\partial k|_{k=k^*}]<0$，记它的相反数为 $\lambda$。上式说明在平衡增长路径上 $k$向 $k^*$收敛的速度与两者间的距离成正比， $k$- $k^*$的增长率为常数 $-\lambda$。
自然地，下一步就是求 $\lambda$了。
$\lambda=-\frac{\partial \dot k(k)}{\partial k}|_{k=k^*}=-[sf'(k^*)-(n+g+\delta)]\\=(n+g+\delta)-sf'(k^*)=(n+g+\delta)-\frac{(n+g+\delta)k^*f'(k^*)}{f(k^*)}\\=(n+g+\delta)[1-\alpha_k(k^*)]$
可见 $k$收敛速度为 $(n+g+\delta)[1-\alpha_k(k^*)]$， $y$的收敛速度与此相等。

引入自然资源和土地

引入自然资源 $R$和土地 $T$，考虑柯布道格拉斯生产函数：
$Y(t)=K(t)^aR(t)^\beta T(t)^\gamma[A(t)L(t)]^{1-\alpha-\beta\gamma}$
假设 $\dot T(t)=0,\quad \dot R(t)=-b$
$\dot K(t)=sY(t)-\delta K(t)$表明 $K$的增长率是
$\frac {\dot K(t)}{K(t)}=s\frac{Y(t)}{K(t)}-\delta$
因此， $K$的增长率要不变， $Y/K$就必须保持不变。

为了找出上述结果什么时候会出现，对原生产函数两边取对数：
$ln Y(t)=\alpha lnK(t)+\beta ln R(t)+\gamma ln T(t)+(1-\alpha-\beta-\gamma)[ln A(t)+ ln L(t)]$
将上式对时间求微分：
$g_Y(t)=\alpha g_K(t)+\beta g_R(t)+\gamma g_T(t)+(1-\alpha-\beta-\gamma)[g_A(t)+g_L(t)]$
将各个已知的增长率 $g_X$的值代入得：
$g_Y(t)=\alpha g_K(t)-\beta b+(1-\alpha-\beta-\gamma)[n+g]$
我们上面分析过，平衡增长路径上 $g_Y$= $g_K$，代入上式得：
$g_Y^{bgp}=g_K^{bgp}=\frac{(1-\alpha-\beta-\gamma)[n+g]-\beta b}{1-\alpha}$
在平衡增长路径上，工人平均产出的增长率为：
$g_{Y/L}^{bgp}=g_{Y}^{bgp}-g_{L}^{bgp}=\frac{(1-\alpha-\beta-\gamma)[n+g]-\beta b}{1-\alpha}-n\\\quad \\=\frac{(1-\alpha-\beta-\gamma)g-\beta b-(\beta+\gamma)n}{1-\alpha}$
上式表明 $g_{Y/L}^{bgp}$可正可负。

Advanced Macroeconomics, David Romer