笔记：Ramsey-Cass-Koopmas模型整理

模型假设

• 厂商
  $Y=F(K,AL)$
  $A$的增长率是外生的 $g$。这些厂商由家庭所有。

• 家庭
  每个家庭的人口增长率都是 $n$,每个成员供给1单位劳动，每个家庭的资本全部租赁给厂商，出事资本持有量 $K(0)/H$（ $H$为家庭数量）。家庭的收入来自提供劳动和资本的报酬以及厂商分得的利润。
  家庭效用函数的形式：
  $U= \int_{t=0} ^\infty e^{-\rho t } u(C(t))\frac{L(t)}{H}dt \quad (1)$
  其中 $\rho$表示折现率， $u(C(t))$表示 $t$时刻消费 $C(t)$的效用, $L(t)$表示总人口，除以家庭数量 $H$就是家庭人数。
  瞬时效用函数 $u$的形式为：
  $u(C(t))=\frac{C(t)^{1-\theta}}{1-\theta},\quad \theta>0,\quad\rho-n-(1-\theta)g>0.$

• 厂商
  厂商按照各自边际产出分别支付报酬，并出售生产的产品。 $\partial F(K,AL)/\partial K$表示为 $f'(k)$（参考Solow模型）。资本的实际收益率等于其时间单位的收入：
  $r(t)=f'(k(t))$
  劳动的边际产出为：
  $\frac{\partial Y}{\partial L}=\frac{\partial (ALf(K/AL))}{\partial L}=Af(k)+ALf'(k)[-\frac{K}{AL^2}]\\=Af(k)-A\frac{K}{AL}f'(k)=A[f(k)-kf'(k)]$
  从而每单位有效劳动的工资为：
  $w(t)=f(k(t))-k(t)f'(k(t))$

• 家庭预算约束
  家庭的预算约束是，终生消费的现值不能超过初始财富加上终生劳动收入的现值：
  $\int _{t=0}^ \infty e^{-R(t)}C(t)\frac{L(t)}{H}\leq \frac{K(0)}{H}+\int_ {t=0}^\infty e^{-R(t)}W(t)\frac{L(t)}{H}$
  $e^{R(t)}$表示时期 $[0,t]$中的连续复利效应。
  整理上式并写成极限形式：
  $\underset{s \rightarrow \infty}{{\rm lim}}\{\frac {K(0)}{H}+\int _{t=0}^s e^{R(t)}[W(t)-C(t)]\frac{L(t)}{H}dt\}\geq 0$
  禁止庞氏博弈条件：
  $\underset{s \rightarrow \infty }{{\rm lim}}e^{R(s)}\frac{K(s)}{H}\geq0$

• 家庭的最大化问题
  令 $c(t)$表示单位有效劳动的平均消费，因此工人平均消费 $C(t)$就等于 $A(t)c(t)$，从而家庭的瞬时效用函数：
  $\frac{C(t)^{1-\theta}}{1-\theta}=\frac{[A(t)c(t)]^{1-\theta}}{1-\theta}=\frac{[A(0)e^{gt}]^{1-\theta}c(t)^{1-\theta}}{1-\theta}\\\quad\\=A(0)^{1-\theta}e^{gt(1-\theta)}\frac{c(t)^{1-\theta}}{1-\theta}$
  代入家庭目标函数（1）得：
  $U=\int_{t=0}^\infty e^{-\rho t}\frac{C(t)^{1-\theta}}{1-\theta}\frac{L(t)}{H}dt\\\quad\\=\int_{t=0}^\infty e^{-\rho t}A(0)^{1-\theta}e^{gt(1-\theta)}\frac{c(t)^{1-\theta}}{1-\theta}\frac{L(0)e^{nt}}{H}dt\\\quad\\=A(0)\frac{L(0)e^{nt}}{H}\int_{t=0}^\infty e^{-[\rho -(1-\theta)g-n]t}\frac{c(t)^{1-\theta}}{1-\theta}dt\\\quad\\ =B\int_{t=0}^\infty e^{-\beta t}\frac{c(t)^{1-\theta}}{1-\theta}dt$
  对于家庭预算约束:
  $\int _{t=0}^ \infty e^{-R(t)}C(t)\frac{L(t)}{H}\leq \frac{K(0)}{H}+\int_ {t=0}^\infty e^{-R(t)}W(t)\frac{L(t)}{H}$
  可写为：
  $\int _{t=0}^ \infty e^{-R(t)}c(t)\frac{A(t)L(t)}{H}dt\leq k(0)\frac{A(0)L(0)}{H}+\int_ {t=0}^\infty e^{-R(t)}w(t)\frac{A(t)L(t)}{H}dt$
  其中 $A(t)L(t)=A(0)L(0)e^{(n+g)t}$,代入上式并两边除以 $A(0)L(0)/H$:
  $\int _{t=0}^ \infty e^{-R(t)}c(t)e^{(n+g)t}dt \leq k(0)+\int_ {t=0}^\infty e^{-R(t)}w(t)e^{(n+g)t}dt$
  总结上文，家庭的效用最大化问题：
  $max\quad B\int_{t=0}^\infty e^{-\beta t}\frac{c(t)^{1-\theta}}{1-\theta}dt$
  s.t.
  $\int _{t=0}^ \infty e^{-R(t)}c(t)e^{(n+g)t}dt \leq k(0)+\int_ {t=0}^\infty e^{-R(t)}w(t)e^{(n+g)t}dt$
  拉格朗日函数为：
  $L=B\int_{t=0}^\infty e^{-\beta t}\frac{c(t)^{1-\theta}}{1-\theta}dt +\lambda[k(0)+\int_ {t=0}^\infty e^{-R(t)}w(t)e^{(n+g)t}dt-\int _{t=0}^ \infty e^{-R(t)}c(t)e^{(n+g)t}dt ]$
  一阶条件（对 $c$）:
  $Be^{-\beta t}c(t)^{-\theta}=\lambda e^{-R(t)}e^{(n+g)t}$
  为了更好理解上式，我们对两边取对数并对时间求导。
  取对数：
  $lnB-\beta t-\theta lnc(t)=ln \lambda -R(t)+(n+g)t\\=ln \lambda-\int _{\tau=0}^t r(\tau)d\tau+(n+g)t$
  对时间求导：
  $-\beta-\theta\frac{\dot c(t)}{c(t)}=-r(t)+(n+g)$
  整理上式得：
  $\frac{\dot c(t)}{c(t)}=\frac{r(t)-n-g-\beta}{\theta}$
  我们知道 $\beta=\rho-n-(1-\theta)g$
  所以
  $\frac{\dot c(t)}{c(t)}=\frac{r(t)-\rho-\theta g}{\theta}$
  上式称为最大化问题的欧拉方程。
  工人平均消费 $C(t)=c(t)A(t)$，所以 $C(t)$的增长率为：
  $\frac{\dot C(t)}{C(t)}=\frac{\dot A(t)}{A(t)}+\frac{\dot c(t)}{c(t)} =g+\frac{r(t)-\rho-\theta g}{\theta}=\frac{r(t)-\rho}{\theta}$
  上式说明，若实际收益率效果家庭对未来消费的折现率，则平均消费会上升。