阿凡达（类欧几里得算法）

一、题目

二、解法

由于 $n$很大，但是操作数很小，且一开始没有初值，很容易想到动态开点，时间复杂度 $O(n\log n)$。

剩下的问题是如何计算一个修改段内的和，注意到 $(i-l+1)\cdot x\% y=(i-l+1)\cdot x+\frac{(i-l+1)\cdot x}{y}$（本题解中的除号均为整除），前者等差数列，后者用经典的类欧几里得算法求和，总时间复杂度 $O(\log n)$，下面详细讲一下这个算法。

类欧几里得算法一般用于解决此类问题： $f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^n \frac{ia+b}{c}$，给定 $a,b,c,n$求 $f$，下面给出算法过程及推导。

当 $a\geq c\space or\space b\geq c$时， $f(a,b,c,n)=f(a\%c,b\%c,c,n)+\frac{a}{c}\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)\frac{b}{c}$

当 $a,b\leq c$，设 $m=\frac{an+b}{c}$，我们开始推式子：
$f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^{m-1}[j<\frac{ia+b}{c}]$ $=\sum_{j=0}^{m-1}\sum_{i=0}^n[i>\frac{cj-b+c-1}{a}]$上面那一步怎么来的呢？我们对括号内的内容做推导：
$j<\frac{ai+b}{c}$ $j\leq \frac{ai+b}{c}-1$ $cj\leq ai+b-c$ $cj<ai+b-c+1$ $i>\frac{cj-b+c-1}{a}$然后就推出来了，我们继续推导：
$=\sum_{j=0}^{m-1}n-\frac{cj-b+c-1}{a}$ $=nm-f(c,c-b-1,a,m-1)$发现上述算法过程类似于辗转相除法，故时间复杂度为 $\log$。

咕咕咕