二分查找与时间复杂度计算分析

二分查找：

二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。
  原理：假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成左、右(左边小一些)两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找左子表，否则进一步查找右子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

特征：1）序列有序；2）可以随机访问
争议：表必须有序，表可以顺序方式存储，也可以链表方式存储。有人说，表只能顺序存储；但也有人说，折半查找也可以用跳表实现，跳表即不是顺序存储。跳表维基百科

时间复杂度: O(log₂N)

我们首先来看一下实现代码：
非递归方式

int 
BinarySearch(const ElementType A[ ], ElementType X, int N)
{
	int Low, Mid, High;
	
	Low = 0; High = N - 1;
	while( Low <= High )
	{
		Mid = ( Low + High ) / 2;
		if( A[Mid] < X )
			Low = Mid + 1;
		else
		if( A[Mid] > X )
			High = Mid - 1;
		else
			return Mid;  /* Found */
	}
	return NotFound;   /* NotFound is defined as -1 */
}

时间复杂度分析T_worst(N)

显然，每次迭代在循环内的所有工作花费为O(1)。
二分查找每次排除掉一半的不适合值，所以对于N个元素的情况：

一次二分剩下：N/2
两次二分剩下：N/2/2 = N/4
…
M次二分剩下：N/(2^M)

在最坏情况下是在排除到只剩下最后一个值之后得到结果，即

N/(2^M)=1

所以由上式可得 ： 2^M=N $\Rightarrow$ T(N) = log₂(N)

递归方式

int 
BinarySearchRecursion(const ElementType A[ ], ElementType X, int Start, int End)
{
/* 1 */	if( Start > End )
			return NotFound;   /* NotFound is defined as -1 */
		
/* 2 */	int Mid = ( Start + End ) / 2;
/* 3 */	if(X == A[Mid])
			return Mid;     /* Found */
		else
		if(X < A[Mid])
/* 4 */		BinarySearchRecursion(A, X, Start, Mid - 1);
		else 
		if(X > A[Mid])
/* 5 */		BinarySearchRecursion(A, X, Mid + 1, End);
}

令T(N)是求解大小为N的二分法排序问题所花费的时间。如果N = 1，则上面算法执行程序第1行到第3行，花费某个时间常量，我们称之为一个时间单元.于是，T(1) = 1。其余就是第4行，第5行上的运行工作。这两行求解大小为N/2的二分法排序问题。假设N为偶数，因此这两行花费之和**总是T(N/2)**个时间单位，于是我们得到方程组:
$\begin{cases} T(1) = 1 \\ T(N) = T(N/2) + O(1) \end{cases}$
为了简化计算，我们可以用1代替上面方程中的O(1)项；由于T(N)最终还是要用大O来丧示的，因此这么做并不影响答案。
至于现在，T(N) = T(N/2) + 1，且T(1) = 1，那么T(2) = 1+1，T(4) = 2+1，T(8) = 3+1，T(16) = 4+1。
其形式是显然的并且可以得到T(N) = log₂N + 1 = O(log₂N)

附：
算法时间复杂度比较图

《数据结构与算法分析》-----Mark Allen Weiss
二分查找时间复杂度计算与分析