CodeForces - 708C Centroids

题意：

给定一棵有 $n$ 个结点的树，问对于每个点 $u$，是否有可能通过移动至多一条边使得原图仍为一棵树并且 $u$ 为树的重心。 $(n \leq 4 × 10^5)$

链接：

https://codeforces.com/problemset/problem/708/C

解题思路：

考虑 $u$ 能成为重心的情况，找到其重儿子 $v$，若重儿子子树大小不超过 $\frac{n}{2}$，则可成为重心，否则必须进一步考虑。考虑从重儿子子树里移除一部分直接拼接到 $u$，这一部分大小必须为 $[siz[v] - \frac{n}{2},\frac{n}{2}]$，即查找 $v$ 子树中是否存在子树大小在此区间范围。
 
以 $1$ 号结点为根考虑求解，讨论 $u$ 的重儿子取向。若 $u$ 的重儿子不是父结点方向，这一部分的 $u$ 可以通过主席树或 $dsu~on~tree$ 求解。若 $u$ 的重儿子往父结点方向，则查询区间变成 $u$ 的外部，且从 $1$ 号结点到 $u$ 路径上的结点的子树大小相对于 $u$ 来讲有所变化，静态主席树不支持更新，故用 $dsu~on~tree$ 沿途修改即可。
 
简化做法：先找到重心 $rt$，以它为根考虑其他结点的求解。重心为根，则其他结点的重儿子只可能是父结点方向，并且移除子树的情况只有两种：① 移除 $rt$ 往该结点 $u$ 方向上的这条边；② 移除 $rt$ 子树内最大的一棵（不大于 $\frac{n}{2}$）。讨论然后 $dfs$ 即可。

参考代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
#define sz(a) ((int)a.size())
#define pb push_back
#define lson (rt << 1)
#define rson (rt << 1 | 1)
#define gmid (l + r >> 1)
const int maxn = 4e5 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;

vector<int> G[maxn];
int siz[maxn], son[maxn], mx[maxn], fa[maxn];
int up[maxn], c[maxn], vis[maxn], ans[maxn];
int n;

#define lowb(x) ((x)&(-x))
void update(int x, int val){

    while(x <= n) c[x] += val, x += lowb(x);
}

int query(int x){

    int ret = 0;
    while(x > 0) ret += c[x], x -= lowb(x);
    return ret;
}

void dfs1(int u, int f){

    siz[u] = 1, son[u] = 0, mx[u] = 0, fa[u] = f;
    for(auto &v : G[u]){

        if(v == f) continue;
        dfs1(v, u);
        siz[u] += siz[v];
        mx[u] = max(mx[u], siz[v]);
        if(siz[v] > siz[son[u]]) son[u] = v;
    }
    mx[u] = max(mx[u], n - siz[u]);
    if(n - siz[u] > siz[son[u]]) up[u] = 1;
    update(siz[u], 1);
}

void add(int u, int f, int val){

    update(siz[u], val);
    for(auto &v : G[u]){

        if(v == f || vis[v]) continue;
        add(v, u, val);
    }
}

void judge(int u){

    int l = mx[u] - n / 2, r = n / 2;
    int tmp = query(r) - query(l - 1);
    // cout << u << " " << ans[u] << " " << l << " " << r << endl;
    ans[u] = tmp > 0;
}

void dfs2(int u, int f, int flg){

    // cout << u << " ? " << f << " " << flg << endl;
    for(auto &v : G[u]){

        if(v == f || v == son[u]) continue;
        int nsz = n - siz[v];
        update(siz[u], -1), update(nsz, 1);
        dfs2(v, u, 0);
        update(siz[u], 1), update(nsz, -1);
    }
    if(son[u]){

        int nsz = n - siz[son[u]];
        update(siz[u], -1), update(nsz, 1);
        dfs2(son[u], u, 1), vis[son[u]] = 1;
        update(siz[u], 1), update(nsz, -1);
    }
    add(u, f, -1);
    if(up[u]) judge(u);
    if(son[u]) vis[son[u]] = 0;
    if(!flg) add(u, f, 1);
}

void dfs3(int u, int f, int flg){

    for(auto &v : G[u]){

        if(v == f || v == son[u]) continue;
        dfs3(v, u, 0);
    }
    if(son[u]) dfs3(son[u], u, 1), vis[son[u]] = 1;
    if(!up[u]) judge(u);
    add(u, f, 1);
    if(son[u]) vis[son[u]] = 0;
    if(!flg) add(u, f, -1);
}

int main(){

    ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
    cin >> n;
    for(int i = 1; i < n; ++i){

        int u, v; cin >> u >> v;
        G[u].pb(v), G[v].pb(u);
    }
    dfs1(1, 0);
    dfs2(1, 0, 0);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) c[i] = 0;
    dfs3(1, 0, 0);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) cout << ans[i] << " "; cout << endl;
    return 0;
}

 
智力打击：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
#define sz(a) ((int)a.size())
#define pb push_back
#define lson (rt << 1)
#define rson (rt << 1 | 1)
#define gmid (l + r >> 1)
const int maxn = 4e5 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;

vector<int> G[maxn];
int siz[maxn], rmx[maxn], ans[maxn];
int n, rmn, rt, mx, mx2;

void dfs1(int u, int f){

    rmx[u] = 0, siz[u] = 1;
    for(auto &v : G[u]){

        if(v == f) continue;
        dfs1(v, u);
        siz[u] += siz[v];
        rmx[u] = max(rmx[u], siz[v]);
    }
    rmx[u] = max(rmx[u], n - siz[u]);
    if(rmx[u] < rmn) rmn = rmx[u], rt = u;
}

void dfs2(int u, int f, int mx){

    if(rmx[u] > n / 2) {
        
        ans[u] = rmx[u] - mx <= n / 2;
    }
    else ans[u] = 1;
    for(auto &v : G[u]){

        if(v == f) continue;
        dfs2(v, u, mx);
    }
}

int main(){

    ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
    cin >> n;
    for(int i = 1; i < n; ++i){

        int u, v; cin >> u >> v;
        G[u].pb(v), G[v].pb(u);
    }
    rmn = inf, dfs1(1, 0);
    rmn = 0, dfs1(rt, 0);
    for(auto &v : G[rt]){

        if(siz[v] > mx) mx2 = mx, mx = siz[v];
        else if(siz[v] > mx2) mx2 = siz[v];
    }
    ans[rt] = 1;
    // cout << rt << endl;
    for(auto &v : G[rt]){

        int tmp = siz[v] == mx ? mx2 : mx;
        if(n - siz[v] <= n / 2) tmp = n - siz[v];
        dfs2(v, rt, tmp);
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i) cout << ans[i] << " "; cout << endl;
    return 0;
}