Codeforces-984C - Finite or not? - 思维

题解链接：

题目链接：

http://codeforces.com/contest/984/problem/C

题目：

You are given several queries. Each query consists of three integers $p$ , $q$ and $b$ . You need to answer whether the result of $p/q$ in notation with base $b$ is a finite fraction.

A fraction in notation with base $b$ is finite if it contains finite number of numerals after the decimal point. It is also possible that a fraction has zero numerals after the decimal point.

Input

The first line contains a single integer $n(1≤n≤10^5)$ — the number of queries.

Next nn lines contain queries, one per line. Each line contains three integers $p$ , $q$ , and $b (0≤p≤10^{18}, 1≤q≤10^{18}, 2≤b≤10^{18})$ . All numbers are given in notation with base $10$ .

Output

For each question, in a separate line, print Finite if the fraction is finite and Infinite otherwise.

题意：

n组样例，对于每组样例，给你三个数p q b，问你 $\frac{p}{q}$ 在 $b$ 进制下是不是一个有限小数，是的话输出Finite，否则输出Infinite。

思路：

首先对于 $\frac{p}{q}$ 可以先对分子分母约分一下，然后只关心 $\frac{1}{q}$ 是否可以在 $b$ 进制下被有限表示即可，因为他们俩之间只相差一个系数 $p$ ，也就是说如果 $\frac{1}{q}$ 可以被有限表示，那么 $\frac{p}{q}$ 也一定可以被有限表示。

考虑 $\frac{1}{q}$ ，一定是一个小于等于 $1$ 的数，考虑将小数转化为 $b$ 进制的过程，每次将小数乘以 $b$ 然后取整数部分，直到这个小数变成了 $0$ ，也就是说如果某个小数 $\frac{1}{q}$ 在 $b$ 进制下可以被有限表示，那么一定存在一个 $i$ ，使得 $b^i = 0\ (mod\ q)$ 成立，于是我们判断这个 $i$ 是否存在即可。

判断的方法刚开始一直想不出来，莽了一发BSGS果断TLE了（我还是太弱了），听了小伙伴的思路才过的。

考虑 $b^i$ ，其不同因子的个数恒等于 $b$ 的不同因子的个数，于是判断 $b^i\ mod\ q$ 是否可以等于 $0$ 就等价于判断 $b$ 是否拥有所有 $q$ 的因子。

实现：

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
ll long gcd(ll p, ll q) { return q ? gcd(q, p % q) : p; }
ll p, q, b, tmp, i, n;

int main() {
    for (i = 0, scanf("%lld", &n); i < n; i++){
        scanf("%lld%lld%lld", &p, &q, &b);
        q = q / gcd(p, q);
        while ((tmp = gcd(q, b)) != 1) while (q % tmp == 0) q /= tmp;
        puts(q == 1 ? "Finite" : "Infinite");
    }
    return 0;
}