AcWing 1081. 度的数量

思路

这是一道数位dp问题，对于数位dp问题关键就在于分类讨论。

首先我们把数字 n 对于B进制来进行分解 ，将每一位上的数字存入一个数组中，然后从高位往低位去讨论，
首先 对于第 i 位数字 x 有三种情况

1. x = 0 ：则 i 位上只能取 0 ，所以直接讨论 i-1 位就可以了
2. x = 1 ：则 i 位上取 0 的时候，后面i-1位都可以随意取值 ，取 1 的时候，后面i- 1位要再小于题目的数的前提下取值，并且能取 k-last-1 个 1 ，
3. x > 1 ：则 i 位上 可以取 1 ，0 ，并且后面 i-1 位可以随便取。

这里 i-1位随便取 和 对于i-1 位讨论的区别，就体现在前一个直接用组合数 f[i-1][k-last]就可以，后面则需要再进入循环去讨论。

最后对于最后一位进行单独讨论，如果对于 最后一位时 ，所有的k个1都已经取好了，也就是k==last了，才做res++。

代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 35;

int K, B;
int f[N][N];

void init(){//求组合数
    for(int i=0;i<=N;i++){
        for(int j=0;j<=i;j++){
            if(!j)f[i][j]=1;
            else f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j];
        }
    }
}


int dp(int n){
    if (!n) return 0;//如果n==0，那么就直接放回0
    vector<int> v;
    while (n) v.push_back(n % B), n /= B;
    int res=0;
    int last=0;//表示已经取了多少个1
    
    for(int i=v.size()-1;i>=0;i--){//从最高位对每一位数讨论
        int x=v[i];
        if(x){
            res += f[i][K - last];//加上第i位取0的时候的组合数，也就是对于后面i位取k-last个1的数量
            if (x > 1)//如果x>1，就可以直接用组合数表示出来，不用进行讨论，也就是i位取1的时候，后面i位随便取k-last-1个1
            {
                if (K - last - 1 >= 0) res += f[i][K - last - 1];
                break;
            }
            else//如果x==1，那么i位取1的时候，还要进行讨论，后面i位不能随便取，也就不是组合数
            {
                last ++ ;
                if (last > K) break;
            }
        }
       if (!i && last == K) res ++ ;// 对于最后一位来特殊来考虑
    }
    return res;
}

int main()
{
    init();

    int l, r;
    cin >> l >> r >> K >> B;

    cout << dp(r) - dp(l - 1) << endl;

    return 0;
}