频域滤波—方波变换中的沃尔什变换与哈达玛变换

沃尔什变换

沃尔什变换是由+1或-1的基本函数的级数展开而成的，满足完备正交特性，属于方波型正交变换。由于沃尔什函数是二值正交函数，与数字逻辑中的两个状态相对应，因此它更适用于计算机技术、数字信号处理

一维沃尔什变换

沃尔什变换要求空域矩阵阶数 $N$满足 $N=2^n$，若满足，则有： $F(\mu)=\sum_{x=0}^{N-1}f(x)g(x,\mu)$ $g(x,\mu)=\frac{1}{N}\prod_{i=0}^{n-1}(-1)^{\sum_{i=0}^{n-1}b_i(x)b_{n-1}(\mu)}$一维沃尔什反变换： $f(x)=\sum_{x=0}^{N-1}F(\mu)h(x,\mu)$ $h(x,\mu)=\prod_{i=0}^{n-1}(-1)^{\sum_{i=0}^{n-1}b_i(x)b_{n-1}(\mu)}$其中， $b_i(x)$是 $x$的二进制表达式中第 $i$位的意思
例如 $N=2^n$， $n=3$， $x=6$，则有 $x=6=(110)_2$，可得 $b_0(x)=0$、 $b_1(x)=1$、 $b_2(x)=1$

与傅立叶变换不同，沃尔什变换的变换核是由+1或-1构成的二值对称矩阵

例如：求 $N=2^2$的沃尔什变换 $F(0)=\frac{1}{4}\sum_{x=0}^{3}[f(x)\prod_{i=0}^{1}(-1)^{b_i(x)+b_{1-i}(0)}]=\frac{1}{4}[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]$ $F(1)=\frac{1}{4}\sum_{x=0}^{3}[f(x)\prod_{i=0}^{1}(-1)^{b_i(x)+b_{1-i}(1)}]=\frac{1}{4}[f(0)+f(1)-f(2)-f(3)]$ $F(2)=\frac{1}{4}\sum_{x=0}^{3}[f(x)\prod_{i=0}^{1}(-1)^{b_i(x)+b_{1-i}(2)}]=\frac{1}{4}[f(0)-f(1)+f(2)-f(3)]$ $F(3)=\frac{1}{4}\sum_{x=0}^{3}[f(x)\prod_{i=0}^{1}(-1)^{b_i(x)+b_{1-i}(3)}]=\frac{1}{4}[f(0)-f(1)-f(2)+f(3)]$其中方括号中各项的符号即位变换核的符号

可见沃尔什变换的本质是将离散序列 $f(x)$中各项值的符号按规律改变进行加减运算

二维沃尔什变换

$F(\mu,\nu)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{x=0}^{N-1}f(x,y)g(x,y,\mu,\nu)$ $f(x,y)=\frac{1}{N}\sum_{\mu=0}^{N-1}\sum_{\nu=0}^{N-1}F(\mu,\nu)g(x,y,\mu,\nu)$ $g(x,y,\mu,\nu)=G=\frac{1}{N}\prod_{i=0}^{n-1}(-1)^{\sum_{i=0}^{n-1}[b_i(x)b_{n-1-i}(\mu)+b_i(y)b_{n-1-i}(\nu)]}$表达为矩阵形式为 $F=\frac{1}{N^2}GfG$ $f=GFG$

与傅立叶变换一样，二维沃尔什变换是可分离的，可以通过两个一维沃尔什变换完成计算 $g(x,y,\mu,\nu)=g_1(x,\mu)g_2(y,\nu)$

实例：求离散沃尔什变换
$f=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}$可知 $N=4$，其变换核为 $G=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix}$则有 $F=\frac{1}{N^2}GfG=\frac{1}{4^2}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$可以看出，沃尔什变换具有信息集中的作用，原始数据中数字越是均匀分布，变换后的数据越是集中于边角区域

哈达玛变换

与沃尔什变换类似，由哈达玛变换核组成的矩阵是一个正交对称矩阵，属于方波型正交变换，不同之处在于其行、列次序不一样。

一维哈达玛变换

哈达玛变换要求空域矩阵阶数 $N$满足 $N=2^n$，若满足，则有： $F(\mu)=\sum_{x=0}^{N-1}f(x)g(x,\mu)$ $g(x,\mu)=\frac{1}{N}(-1)^{\sum_{i=0}^{n-1}b_i(x)b_{i}(\mu)}$一维哈达玛反变换： $f(x)=\sum_{x=0}^{N-1}F(\mu)h(x,\mu)$ $h(x,\mu)=(-1)^{\sum_{i=0}^{n-1}b_i(x)b_{i}(\mu)}$ $b_i(x)$是 $x$的二进制表达式中第 $i$位的意思

二维哈达玛变换

$F(\mu,\nu)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{x=0}^{N-1}f(x,y)g(x,y,\mu,\nu)$ $f(x,y)=\frac{1}{N}\sum_{\mu=0}^{N-1}\sum_{\nu=0}^{N-1}F(\mu,\nu)g(x,y,\mu,\nu)$ $g(x,y,\mu,\nu)=G=\frac{1}{N}(-1)^{\sum_{i=0}^{n-1}[b_i(x)b_{i}(\mu)+b_i(y)b_{i}(\nu)]}$二维哈达玛变换是可分离的，可变换为两个一维哈达玛变换来进行计算。

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列率
在哈达玛矩阵中，沿列方向上符号改变的次数称为列率，类似傅立叶变换中频率的概念。

例如有矩阵 $H=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\\ \end{bmatrix}$
其第一列元素符号无变化，于是第一列的列率为0；
第二列 $a_{12}$到 $a_{22}$符号由正变负、 $a_{22}$到 $a_{32}$符号由负变正、 $a_{32}$到 $a_{42}$符号由正变负，共改变3次，因此第二列的列率为3；以此类推，第三列的列率为1，第四列的列率为2

哈达玛变换在列率上是随机的，不利于实现逐次倍加法的快速运算，但是能导出一个简单的递推关系，构造其变换矩阵，而后进行哈达玛正向和反向变换

哈达玛变换核矩阵
在满足 $N=2^n$的情况下
有最低阶 $N=2$时的哈达玛变换矩阵 $H_2$为： $H_2=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{bmatrix}$有任意阶 $N=2N$时的哈达玛矩阵为： $H_{2N}=\begin{bmatrix} H_N & H_N \\ H_N & -H_N \\ \end{bmatrix}$由此可推得： $H_{4}=\begin{bmatrix} H_2 & H_2 \\ H_2 & -H_2 \\ \end{bmatrix},H_{8}=\begin{bmatrix} H_4 & H_4 \\ H_4 & -H_4 \\ \end{bmatrix},...$
将哈达玛矩阵按照列率顺序排列，得到定序的哈达玛变换对为： $F(\mu,\nu)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{x=0}^{N-1}f(x,y)g(x,y,\mu,\nu)$ $f(x,y)=\frac{1}{N}\sum_{\mu=0}^{N-1}\sum_{\nu=0}^{N-1}F(\mu,\nu)g(x,y,\mu,\nu)$ $g(x,y,\mu,\nu)=G=\frac{1}{N}(-1)^{\sum_{i=0}^{n-1}[b_i(x)p_{i}(\mu)+b_i(y)p_{i}(\nu)]}$其中 $\begin{aligned} p_0(\mu) & = b_{n-1}(\mu) \\ p_i(\mu) & = b_{n-i}(\mu)+b_{n-1-i}(\mu) \\ \end{aligned}$表达为矩阵形式为 $F=\frac{1}{N^2}HfH$ $f=HFH$

实例：求离散哈达玛变换 $f=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}$易知 $N=4$，其哈达玛变换核矩阵为： $H_{4}=\begin{bmatrix} H_2 & H_2 \\ H_2 & -H_2 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\\ \end{bmatrix}$ $H_4$按列率排序后得到 $H_4=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ \end{bmatrix}$由此按照哈达玛变换的计算公式可得 $F=\frac{1}{N^2}H_4fH_4=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$

将沃尔什变换与哈达玛变换进行对比可以发现，两个变换的结果之间只是矩阵列的顺序不同，不会影响两者应用于压缩时的效率