【Leetcode】222. Count Complete Tree Nodes

题目地址：

https://leetcode.com/problems/count-complete-tree-nodes/

求complete binary tree的节点个数。可以先求左子树一路向左的深度，以及右子树一路向右的深度。如果两个深度相等，说明树是full binary tree，这时有公式，节点数等于 $2^h-1$，其中 $h$为树的深度。否则必然有前者深度大于后者，这时递归求解左右子树的节点个数，最后整个加总即可。

public class Solution {
    public int countNodes(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        // 求两个子树分别一路向左和向右的深度
        int[] heights = height(root);
        int hLeft = heights[0] - 1;
        int hRight = heights[1] - 1;
        // 如果深度相等，说明是满二叉树，直接套公式；否则递归求解
        if (hLeft == hRight) {
            return (1 << (hLeft + 1)) - 1;
        } else {
            return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
        }
    }
    
    private int[] height(TreeNode root) {
        int hL = 0, hR = 0;
        TreeNode cur = root;
        while (cur != null) {
            hL++;
            cur = cur.left;
        }
        cur = root;
        while (cur != null) {
            hR++;
            cur = cur.right;
        }
        
        return new int[]{hL, hR};
    }
}

class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left, right;
    TreeNode(int x) {
        val = x;
    }
}

空间复杂度 $O(\log n)$，是树的深度，只需注意到此树高度平衡即可。关于时间复杂度，可以这样考虑：
对于某棵完全二叉树，看最后的一层的叶子分布。如果最后一层刚好有整层的一半个数的叶子，那么很显然原树的左右子树都是完全二叉树，这时候时间复杂度就是 $h-1+h-2=O(h)$，否则的话，必然存在一边是完全二叉树，另一边不是，所以有递推方程： $T(n)=O(h)+T(\frac{n}{2})$所以 $T(n)=O(h^2)=O(\log^2 n)$。最差的情况是每次向下递归的时候都只有一棵子树是完全二叉树。

算法正确性可以由数学归纳法知道。