线性基基础问题

大佬的博客
假设有n个数，这n个数能组成的异或和的集合为V，线性基就是能表示这个异或和集合V的最小集合。
线性基的作用:求解异或和第k小、异或和最大值、某个数是否存在于异或和集合里等问题。
洛谷P3812
求异或和的最大值

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 7;
typedef long long ll;
ll a[maxn], b[65], ans;
int n, m;
void prepare() {
    int cnt = 0;
    memset(b, 0, sizeof(b));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 62; j >= 0; j--) {
            if((a[i]>>j)&1) {
                if(b[j]) a[i] ^= b[j];
                else {
                    b[j] = a[i]; cnt++;
                    for (int k = j - 1; k >= 0; k--)
                        if(b[k] && ((b[j] >>k)&1)) b[j] ^= b[k];
                    for (int k = j + 1; k <= 62; k++)
                        if((b[k]>>j)&1) b[k] ^= b[j];
                    break;
                }
            }
        }
    }
    for (int i = 0; i <= 62; i++) ans ^= b[i];
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
    prepare();
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

求异或第k小
题目链接
题意
给n个数，每次询问所有数的异或和第k小。
思路
这是关于线性基的一个问题，将所有数建立成一个线性基数组，讲所有线性基中不为0的数从低到高位与k的二进制的低位到高位对应，将所有k的二进制位上不为0的与之对应的线性基异或和就是第k小。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 7;
typedef long long ll;
ll a[maxn], b[65];
int zero, n, m;
vector<ll> v;
void prepare() {
    int cnt = 0;
    memset(b, 0, sizeof(b));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 62; j >= 0; j--) {
            if((a[i]>>j)&1) {
                if(b[j]) a[i] ^= b[j];
                else {
                    b[j] = a[i]; cnt++;
                    for (int k = j - 1; k >= 0; k--)
                        if(b[k] && ((b[j] >>k)&1)) b[j] ^= b[k];
                    for (int k = j + 1; k <= 62; k++)
                        if((b[k]>>j)&1) b[k] ^= b[j];
                    break;
                }
            }
        }
    }
    zero = cnt != n;
    v.clear();
    for (int i = 0; i <= 62; i++)
        if(b[i]) v.push_back(b[i]);
}
ll query(ll x) {
    if(zero) x--;
    if(x >= (1ll<<v.size())) return -1;
    ll ans = 0;
    for (int i = 0; i < v.size(); i++)
        if((x>>i)&1) ans ^= v[i];
    return ans;
}
int main()
{
    int tt;
    scanf("%d", &tt);
    for (int t = 1; t <= tt; t++) {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%lld", &a[i]);
        zero = 0;
        prepare();
        scanf("%d", &m);
        printf("Case #%d:\n", t);
        while (m--) {
            ll x;
            scanf("%lld", &x);
            printf("%lld\n", query(x));
        }
    }
    return 0;
}

求异或和是第几小
bzoj2844

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 7;
typedef long long ll;
const int mod = 10086;
ll a[maxn], b[65];
int n, cnt;
vector<int> v;
void prepare() {
    memset(b, 0, sizeof(b));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 62; j >= 0; j--) {
            if((a[i]>>j)&1) {
                if(b[j]) a[i] ^= b[j];
                else {
                    b[j] = a[i]; cnt++;
                    for (int k = j - 1; k >= 0; k--)
                        if(b[k] && ((b[j] >>k)&1)) b[j] ^= b[k];
                    for (int k = j + 1; k <= 62; k++)
                        if((b[k]>>j)&1) b[k] ^= b[j];
                    break;
                }
            }
        }
    }
}
ll qpow(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    a = a % mod;
    while (b) {
        if(b&1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b = b >> 1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
    prepare();
    for (int i = 0; i <= 62; i++)
        if(b[i]) v.push_back(i);
    ll q;
    scanf("%lld", &q);
    ll rk = 0;
    for (int i = 0; i < v.size(); i++)
        if(q>>v[i]&1) rk += 1 << i;
    //求出的rk其实是rank(q)-1，因为可以有空集，所以一定有0，线性基里是没有0的，所以rk就是rank(q)-1.
    printf("%lld\n", (qpow(2, n - cnt) * (rk) % mod + 1)%mod);
}