目录
1.三角函数的正交性质
1.1.三角正交函数集
1.2.正交的举例
- 向量的正交
- 函数的正交
1.3.正交性简单证明
2.周期为“2π”的函数展开傅里叶级数
2.1.周期函数的表示
任意周期函数都可以由不同频率分量的三角函数叠加而成，所以可以把一个函数表示成三角函数的叠加。
但是傅立叶变化一般写成下面这种形式：
2.1.系数的求解
现在的问题是我们如何把系数：a0 , an 以及 bn 求解出来
- a0的求解
- 求解an
备注：当 n = m时
这样一来原始公式就可以化简如下：
- 求解bn
备注：
3.周期为"2L"函数展开傅里叶级数
思路：设法把以2L为周期的函数，变换成周期为2π的函数，然后使用第2步推到出来的结论。
3.1.周期为“2L”的函数：
- 使用换元法：
- 得到下面的结论：
备注：此时g(x)的周期编程“2π”，可以直接代入第2步的结论
3.2.以“2L”为周期的函数傅立叶级数的系数求解如下:
3.3.整理化简
4.傅立叶的级数的复数形式
预备知识：
- 欧拉公式：
4.1.使用欧拉公式展开式的式子代入第3步的结果：
那么现在就需要重新去计算这些系数了：
4.2.系数化简
但是这样还不够精简，我们可以使用第3步得来的a0,an,bn的系数来化简Cn这个傅立叶级数的复数系数：
可以从上面的化简结果看到，当 n≥ 1 ,和 n ≤ -1 的时候结果居然是一样的，那么这样一来又可以化简Cn了入下：
然后再进行化简，可以神奇的发现，n=0的项是可以并入到n≠0的表达式中的：
4.3.化简结果
这样就得到最后的表达式：
5.傅里叶变换（FT）
对于上面推导的变换，可以知道都是基于周期函数的，如果不是周期函数就不能展开成傅立叶级数，但是如果想研究非周期怎么办呢？
这样就引出了非周期的傅立叶变换，称为“傅立叶变换”，所以傅立叶变换可以适用于周期函数和非周期函数。
问题：
- 如何从周期引出非周期？
周期函数，就是经过一定的时间就会重复，周而复始。
- 那么非周期就是不会重复吗？
不一定，如果说我们把周期变成无穷大呢，就是很久很久之后才会重复，以这样的思想，就可以引出非周期函数的傅立叶变换。
5.1.傅立叶变换的推出还是要基于第4步推导出来的傅立叶级数的复数形式
备注：从上可以知道，周期函数傅立叶级数的展开的谱线是离散的。
5.2.函数从（周期 -->非周期），谱线从（离散 -- > 连续） 过程
接下来就是很关键的变换了：
备注：
5.3.最终的到傅立叶的正变换公式和反变换公式：
