数学公式（一）

不等式

• 基本不等式拓展： $\frac{{2ab}}{{a+b}} \le \sqrt{{ab}} \le \frac{{a+b}}{{2}} \le \sqrt{{\frac{{a\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+b\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}}{{2}}}} \left( \text{当}\text{且}\text{仅}\text{当}a=b\text{时}\text{取}\text{“}=\text{”}\text{号} \right)$
• 均值不等式： $H_{n}=\frac{n}{\sum \limits_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}}= \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+ \frac{1}{x_{2}}+ \cdots + \frac{1}{x_{n}}}(调和平均数)\\ G_{n}=\sqrt[n]{\prod \limits_{i=1}^{n}x_{i}}= \sqrt[n]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}(几何平均数)\\ A_{n}=\frac{1}{n}\sum \limits_{i=1}^{n}x_{i}=\frac{x_{1}+ x_{2}+ \cdots + x_{n}}{n}(算术平均数)\\ Q_{n}=\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}= \sqrt{\frac{x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ \cdots + x_{n}^{2}}{n}}(平方平均数)\\ \\ H_{n}\leq G_{n}\leq A_{n}\leq Q_{n}$
  参考调和平均数-几何平均数-算术平均数-平方平均数的4种经典证明
• 柯西不等式： $\left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)^{\!\!2}\leq \left( \sum_{k=1}^n a_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n b_k^2 \right)$
• 绝对值不等式： $\left| a \left| - \left| b \left| \le \left| a+b \left| \le \left| a \left| + \left| b \right| \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right.$
• 排序不等式：设 $a_1\leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$和 $b_1\leq b_2 \leq \cdots \leq b_n$, $c_1,c_2 \cdots c_n$为b的任意序列，则有： $a_1b_n+\cdots +a_nb_1 \leq a_1c_1+\cdots +a_nc_n \leq a_1b_1+\cdots + a_nb_n$
  即逆序和 $\leq$乱序和 $\leq$正序和
• 伯努利不等式 :
  $\text{若}a > 0,n > 1,\text{则}\text{有}$
  $\mathop{{a}}\nolimits^{{n}} > 1+n{ \left( {a-1} \right) } \tag {1}$
  $\text{当}a=\mathop{{b}}\nolimits^{{\frac{{1}}{{n}}}},b > 1\text{时}\text{，}\text{有}$
  ${\mathop{{b}}\nolimits^{{\frac{{1}}{{n}}}}-1 < \frac{{b-1}}{{n}}} \tag{2}$

级数

• 欧拉公式： $e^{i\theta }=\cos \theta + i \sin \theta$
  特别的当 $\theta = \pi 时：$ $e^{i\pi} + 1=0$
  证明：
  

级数

• $f(x),g(x)在[a,b]$连续： $\left[\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right]^{2} \leqslant \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x$
  证明：若 $f(x)\equiv 0$ 显然成立
  若 $f(x)\not\equiv 0$ 则 $\int_{a}^{b}f^2(x)dx>0$，令 $\varphi(t)=\int_{a}^{b}[t f(x)+g(x)]^{2} \mathrm{d} x=t^{2} \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x+2 t \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x+\int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x$
  则 $\varphi(t)$为二次多项式，在R上满足 $\varphi(t) \geqslant 0$则 $\Delta =\mathop{{b}}\nolimits^{{2}}-4ac=\left[2\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right]^{2} -4 \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x\leqslant 0$
• 若 $\int_{a}^{b}f(x)dx=1$则有： $\left[\int_{a}^{l} x f(x) \mathrm{d} x\right]^{2}=\left[\int_{a}^{b} x \sqrt{f(x)} \cdot \sqrt{f(x)} \mathrm{d} x\right]^{2} \leqslant \int_{a}^{b} x^{2} f(x) \mathrm{d} x \cdot \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} x^{2} f(x) \mathrm{d} x$

参考

• 高中数学不等式选讲，最全的不等式知识总结
• LaTeX在线:吴文中 数学公式编辑器
• Latex：代数【大学常用公式】
• 复变函数——欧拉公式