【数学】C035_阶乘后的零（暴力 | 优化 | 数学思想）

一、题目描述

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!.

Example 1:
Input: 3
Output: 0
Explanation: 3! = 6, no trailing zero.

Example 2:
Input: 5
Output: 1
Explanation: 5! = 120, one trailing zero.

Note: Your solution should be in logarithmic(对数) time complexity.

二、题解

(1) 暴力（超时，使用int存储会溢出）

/**
 * 暴力破解（超时）：ret不用long会溢出。
 * @param n
 * @return
 */
public int trailingZeroes1(int n) {
  int count=0;
  long ret=0;
  for (int i = n; i >= 1; --i) {
    ret *= n;
    n--;
  }
  while(n != 0) {
    if(n % 10 == 0) count++;
    n/=10;
  }
  return count;
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(n)$
• 空间复杂度： $O(1)$

(2) 暴力优化（数学思想 | 超时）

计算 N 的阶乘 $N!=1*2*...*N$ 有多少个后缀0，即计算 $N!$ 里有多少个 $10$，也就是计算 $N!$ 里有多少个 $2$ 和 $5$

• 数学原理：分解质因数，最后结果即 2 的个数和 5 的个数取较小值。
• 因此，得到下面时间复杂度为 $O(Nlog_2N)$ 的暴力求解的算法。
• 这种求法不会阶乘时的溢出。

/**
 * @date: 1/17/2020 5:09 PM
 * @Execution info：
 *  ·执行用时  ms 击败了 % 的java用户
 *  ·内存消耗 MB 击败了 % 的java用户
 * @Asymptotic Time Complexity：O()
 */
public int trailingZeroes2(int n) {
  int cnt2=0;
  int cnt5=0;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    int t=i;
    while(t%2 == 0) {
      cnt2++;
      t>>=1;
    }
    while(t%5==0) {
      cnt5++;
      t/=5;
    }
  }
  return cnt2 > cnt5 ? cnt5 : cnt2;
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(Nlog_2N)$
• 空间复杂度： $O(1)$

(3) 纯数学求解

暴力的解法对于特殊的数学问题一般会超时，但却不是一无是处，可用于前期查找规律，为之后提供数据和思路。于是，我们就有了下面这些思想。

• $0$ 的来源 $2 * 5$ 所以一对 2 和 5 即可产生一个 0，所以 0 的个数即为 $min(阶乘中含有因子 5 的元素的个数和 2 的个数)$，
• 又因 2 的倍数的数一定比是 5 的倍数的数多，所以 2 的个数一定 >=5 的个数，所以只需要统计 5 的个数
• 每隔 5 个数就会有一个含有因子5 的元素，但是这些元素中每隔 5 个会多一个因子5(即， $5+5+5+5+5 = 5*5$)，如 $25 = 5 * 5$，这些因子中 $25 = 5 * 5 * 5$就又多一个因子5，
• 其实就是求 $n/5 + n/25 + n/125 + ...$ 的和。迭代，先求 $n/5$，完事再其基础上再除以 5 来求 $n / 25$ 等等

/**
 * @date: 1/17/2020 5:28 PM
 * @Execution info：
 *  ·执行用时 1 ms 击败了 100% 的java用户
 *  ·内存消耗 33MB 击败了 89.8% 的java用户
 * @Asymptotic Time Complexity：O()
 */
public int trailingZeroes3(int n) {
  int count=0;
  while(n >= 5) {
    count += n/5;
    n/=5;
  }
  return count;
}

复杂度分析

时间复杂度： $O(log_5(n))$
空间复杂度： $O(1)$