信号处理 —— 微分到差分的转换

对于连续函数 $f(t)$，采样后为 $f(kT)$，将其简写为 $f(k)$

向前差分

• 一阶向前差分： $\Delta f(k)=f(k+1)-f(k)$
• 二阶向前差分： $\begin{aligned} \Delta^{2} f(k) &=\Delta f(k+1)-\Delta f(k) =f(k+2)-2 f(k+1)+f(k) \end{aligned}$
• n阶向前差分： $\Delta^{n} f(k)=\Delta^{n-1} f(k+1)-\Delta^{n-1} f(k)$

向后差分

• 一阶向后差分： $\nabla f(k)=f(k)-f(k-1)$
• 二阶向后差分： $\nabla^{2} f(k)=\nabla[\Delta f(k)]=f(k)-2 f(k-1)+f(k-2)$
• n阶向后差分： $\nabla^{n} f(k)=\nabla^{n-1} f(k)-\nabla^{n-1} f(k-1)$

例子

假设连续系统微分方程为：
$a_{n} \frac{d^{n} y}{d t^{n}}+a_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{d t^{n-1}}+\cdots+a_{1} \frac{d y}{d t}+a_{0} y=b_{m} \frac{d^{m} x}{d t^{m}}+b_{m-1} \frac{d^{m-1} x}{d t^{m-1}}+\cdots+b_{1} \frac{d x}{d t}+b_{0} x$
则两边同时除以 $a_{0}$得：
$\frac{a_{n}}{a_{0}} \frac{d^{n} y}{d t^{n}}+\frac{a_{n-1}}{a_{0}} \frac{d^{n-1} y}{d t^{n-1}}+\cdots+\frac{a_{1}}{a_{0}} \frac{d y}{d t}+y=\frac{b_{m}}{a_{0}} \frac{d^{m} x}{d t^{m}}+\frac{b_{m-1}}{a_{0}} \frac{d^{m-1} x}{d t^{m-1}}+\cdots+\frac{b_{1}}{a_{0}} \frac{d x}{d t}+\frac{b_{0}}{a_{0}} x$
即 $a_{n}^{\prime} \frac{d^{n} y}{d t^{n}}+a_{n-1}^{\prime} \frac{d^{n-1} y}{d t^{n-1}}+\cdots+a_{1}^{\prime} \frac{d y}{d t}+y=b_{m}^{\prime} \frac{d^{m} x}{d t^{m}}+b_{m-1}^{\prime} \frac{d^{m-1} x}{d t^{m-1}}+\cdots+b_{1}^{\prime} \frac{d x}{d t}+b_{0}^{\prime} x$
$where$, $a_{k}^{\prime}=\frac{a_{k}}{a_{0}}(k=1 \ldots n), \quad b_{\mathrm{k}}^{\prime}=\frac{b_{k}}{a_{0}}(k=0 \ldots n)$
使用向后差分的形式，则等式左边的微分项转为差分项为：
$\begin{array}{l}{y=y(n)=y(k)} \\\\ {\frac{d y}{d t}=\frac{y(n)-y(n-1)}{T}=y(k-1)} \\\\ {\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\frac{y(n)-y(n-1)}{T}-\frac{y(n-1)-y(n-2)}{T}=\frac{y(n)-2 y(n-1)+y(n-2)}{T^{2}}=y(k-2)} \\\\ {\cdots} \\\\ {\frac{d^{n} y}{d t^{n}}=y(k-n)}\end{array}$
同理，等式右边的微分项转为差分项为：
$\begin{array}{l}{x=x(n)=u(k)} \\\\ {\frac{d x}{d t}=\frac{x(n)-x(n-1)}{T}=u(k-1)} \\\\ {\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{x(n)-2 x(n-1)+x(n-2)}{T^{2}}=u(k-2)} \\\\ {\cdots} \\\\ {\frac{d^{m} x}{d t^{m}}=u(k-m)}\end{array}$
将上述所得差分项替换原式中的微分项得：
$a_{n}^{\prime} y(k-n)+\cdots+a_{1}^{\prime} y(k-1)+y(k)=b_{m}^{\prime} x(k-m)+\cdots+b_{1}^{\prime} x(k-1)+b_{0}^{\prime} x(k)+\xi(k)$
$where$， $a_{k}^{\prime}=\frac{a_{k}}{a_{0}}(k=1 \ldots n), \quad b_{\mathrm{k}}^{\prime}=\frac{b_{k}}{a_{0}}(k=0 \ldots n) ，\xi(k)为由于差分运算导致的误差项$

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关于微分方程与差分方程的联系与区别可参考博文《微分方程和差分方程的区别与联系》