【UVA11168】Airport（凸包+点到直线距离（一般式））

提交地址：https://vjudge.net/problem/UVA-11168

题目：

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pdf：https://uva.onlinejudge.org/external/111/11168.pdf

给出n个点，找到一条直线，使所有点在直线的同一侧，且到直线的距离之和的平均值最小

解题思路：

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这条直线一定是在这些点的凸包的边上，根据凸包上相邻两个点构成一条直线，利用直线的两点式得到直线的一般式：Ax+By+C=0.

根据点到直线的距离公式：，因为这些点都在直线的同一侧，所有距离公式的符号都是相同的，可以先求出sumx和sumy，最终计算的时候直接乘个系数即可。

统计最小的平均距离

ac代码：

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 10007;
const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-10;
struct Point
{
    double x,y;
    Point(double x=0,double y=0):x(x),y(y){}
    friend bool operator < (Point a, Point b)
    {
        return a.x == b.x ? a.y < b.y : a.x < b.x;
    }
};
typedef Point Vector;

Vector operator - (Vector a, Vector b)//向量减法
{
    return Vector(a.x - b.x, a.y - b.y);
}
Vector operator + (Vector a, Vector b)//向量加法
{
    return Vector(a.x + b.x, a.y + b.y);
}


int dcmp(double x)//精度三态函数(>0,<0,=0)
{
    if (fabs(x) < eps)return 0; //等于
    else return x < 0 ? -1 : 1;//小于，大于
}
double Cross(Vector a, Vector b)//外积
{
    return a.x * b.y - a.y * b.x;
}
Vector Rotate(Vector a, double rad)//逆时针旋转rad弧度
{
    return Vector(a.x*cos(rad) - a.y*sin(rad), a.x*sin(rad) + a.y*cos(rad));
}

struct Line//直线标准式
{
    double a,b,c;
};
Line GetLine(Point A,Point B)//由两点式求直线标准方程
{
    Line L;
    L.a=B.y-A.y;
    L.b=A.x-B.x;
    L.c=B.x*A.y-A.x*B.y;
    return L;
}


int ConvexHull(Point *p, int n, Point* ch)//凸包
{
    sort(p, p+n);//先x后y
    int m = 0;//ch存最终的凸包顶点，下标从0开始
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        //m是待确定的
        while(m > 1 && dcmp(Cross(ch[m-1]-ch[m-2], p[i]-ch[m-2])) <= 0) m--;
        ch[m++] = p[i];
    }
    int k = m;
    for(int i = n-2; i >= 0; i--)
    {
        while(m > k && dcmp(Cross(ch[m-1]-ch[m-2], p[i]-ch[m-2])) <= 0) m--;//同样的方向
        ch[m++] = p[i];
    }
    if(n>1) m--;//m是凸包上的点数+1，相当于n，ch[m]和ch[0]相同，遍历的时候<m即可
    return m;
}

int main()
{
    //freopen("/Users/zhangkanqi/Desktop/11.txt","r",stdin);
    int t, n, Case = 0;
    scanf("%d", &t);
    Point allp[maxn], ch[maxn];
    while(t--)
    {
        scanf("%d", &n);
        double sumx = 0, sumy = 0, ans = LONG_LONG_MAX;
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%lf %lf", &allp[i].x, &allp[i].y);
            sumx += allp[i].x;
            sumy += allp[i].y;
        }
        if(n <= 2)
        {
            printf("Case #%d: 0.000\n", ++Case);
            continue;
        }
        int m = ConvexHull(allp, n, ch);
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            Line L = GetLine(ch[i], ch[(i+1)%m]);
            double up = fabs(sumx*L.a + sumy*L.b + n*L.c);
            double down = sqrt(L.a*L.a + L.b*L.b);
            ans = min(ans, up/down);
        }
        printf("Case #%d: %.3lf\n",++Case,ans/(n*1.0));
    }
    return 0;
}