使用向量的方法计算点到直线的距离

• 使用向量的方法效率更高，更简单。
• 首先要了解什么是向量，什么是向量的模

• 主要用到了解析几何里的几个公式

  1. a·b = |a||b|cos(x)，其中x为向量a,b的夹角
  2. |a|*单位向量 = a，单位向量为模为1的向量
  3. 向量的加减法 ，如下图所示
     
     • 向量的加法
       
     • 向量的减法
       

• 问题的原型如下图所示，红色的点为鼠标位置，蓝色的点(x0,y0)，(x1,y1)为线段的端点，求红色的点到直线的距离
  
  可以将点到线的距离转换为直角三角形的问题，如下图所示：
  

  1. 我们定义鼠标所在点为M，线段起点为A，终点为B，AM为向量a，AB为向量b，向量c为向量a在向量b上的投影，向量e为M点到AB的垂线，关键就是求出向量e的模。
  2. 要得到向量e的模，首先要得到向量e，而要得到向量e就需要得到向量c，问题就转换为了求向量c。
  3. 由勾股定理可得|c| = |a|cos(x)，x为向量ab的夹角，而
     |a|cos(x) = |a||b|cos(x) / |b| = a·b / |b|，这样就得到了c的模，这样就可以得到c = |c|*单位向量，
     因为c与b的方向相同，所以取单位向量=b / |b|，整理可得：
     $$c = \dfrac{(a·b)} {|b|} \dfrac{b}{|b|}$$
     $$= \dfrac{(a·b)}{|b|^2}b$$
  4. 得到c的向量之后，就可以得到向量e = a - c再取e的模即可得到点到直线的距离。

• 最后两个图片源自https://msdn.microsoft.com/en-us/library/ms969920.aspx

• 其中星号为乘法，点表示点积