位运算
二进制算术运算符
1、与(&)
对于两个数的每一个二进制位进行一次与运算
如果两个数对应的二进制位同为1,结果为1,否则为0
例如:
A = 60(0011 1100)
B = 13(0000 1101)
A&B = 12(0000 1100)
2、或(|)
对于两个数的每一个二进制位进行一次或运算
如果两个数对应的二进制位同为0,结果为0,否则为1
例如:
A = 60(0011 1100)
B = 13(0000 1101)
A|B = 61(0011 1101)
3、非/按位取反(~)
对于两个数的每一个二进制位进行一次取反运算
若该二进制位为0,则变成1,为1,则变成0
例如:
A = 60 (0011 1100)
~A = 195(1100 0011)
4、异或运算(^)
对于两个数的每一个二进制位进行一次异或运算
若两个数对应的二进制位不同,则运算结果为1,相同则为0
例如:
A = 60(0011 1100)
B = 13(0000 1101)
A^B = 49(0011 0001)
异或具有以下性质:
- 异或也叫半加运算,其运算法则相当于 不带进位的二进制加法
- 一个数异或同一个数两次,则结果还是原数,即 (a ^ b) ^ b = a
- 0 异或任何数,结果都等于那个数,即 0 ^ a = a
二进制移位操作符
1、左移 (<<)
例如:A=5(0101)
如果向左移动一位,即 A<<1 结果为1010,十进制的10。
二进制中的左移就是乘二操作,在c/c++中左移运算速度比乘二速度要快。
2、右移 (>>)
例如:A=5(0101)
如果向右移动一位即A>>1结果为0010,十进制的2。
二进制中的左移就是除二操作(舍去余数)。
基于以上运算方法,接下来我们就可以进行二进制枚举了。
二进制枚举
由于 n 位的二进制数有 2n 个,一个有 n 个元素的集合的子集个数也为 2n 个
所以可以把二进制的 1 0 和集合中的元素联系起来进行组合。
在二进制枚举时通常采取以下方法:
- 对一个二进制来说 1 代表取这个元素 0 代表不取这个元素
- 1 和 0 所在的位置代表元素的位置
假设有 5 个元素:
- 二进制 00000 代表什么都不取
- 10000 代表取 a
- 01000 代表取 b
- 11000 代表取 a,b
- 所以枚举的范围就是 00000 到 11111,也就是 0 到 1<<n
因此要注意二进制枚举 被枚举元素只能有 2 种情况
例如灯的开关,一种东西取或者不取…
Code
以一道题为例:
NEFU OJ Problem1205: 和为K–二进制枚举
给出长度为 n 的数组,求能否从中选出若干个,使他们的和为K
如果可以,输出:Yes,否则输出No
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int n,k,num[20],sum;
while(cin>>n>>k)
{
for(int i=0;i<n;i++)cin>>num[i]; //读入数组
//↓此处算术运算符优先级大于比较运算符,因此可不加括号
for(int i=0;i<1<<n;i++) //进行枚举,枚举到2的n次幂
{
sum=0;
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(i&1<<j)sum+=num[j]; //如果本位为1则加到sum中
}
if(sum==k) //判断和是否为k
{
printf("Yes\n");
k=-1;
break;
}
}
if(k!=-1)printf("No\n");
}
return 0;
}